Optimización del reparto en un centro logístico

**Calcular, utilizando técnicas de programación lineal, cuántas unidades hay que repartir a la tienda de cada formato para que se pueda maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascenderá ese beneficio máximo?** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema basándonos en lo que nos pide el enunciado: - $x$: número de unidades del formato **S**. - $y$: número de unidades del formato **L**. La función que queremos maximizar es el beneficio total ($Z$), que depende del beneficio unitario de cada formato: $$Z(x, y) = 3000x + 2500y$$ 💡 **Tip:** Identifica siempre las variables por las unidades físicas (unidades de producto, kilogramos, horas, etc.) y la función objetivo por la magnitud económica (beneficio, coste) o de rendimiento.

Traducimos las condiciones del enunciado a inecuaciones matemáticas: 1. **Cantidad total máxima:** La suma de ambos formatos no puede superar las 70 unidades. $$x + y \le 70$$ 2. **Mínimo de formato L:** La tienda necesita que $y$ sea al menos un quinto del total ($x+y$). $$y \ge \frac{1}{5}(x + y)$$ Para trabajar mejor con ella, la simplificamos: $$5y \ge x + y \implies 4y \ge x \implies x - 4y \le 0$$ 3. **Disponibilidad de formato L:** Máximo de 40 unidades. $$y \le 40$$ 4. **No negatividad:** Al tratarse de unidades de producto, no pueden ser negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda: $$\begin{cases} x + y \le 70 \\ x - 4y \le 0 \\ y \le 40 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cuando una restricción relacione una variable con el total, asegúrate de multiplicar el denominador (en este caso 5) a ambos lados para evitar fracciones en el dibujo de las rectas.

Para hallar los vértices de la región factible, resolvemos los sistemas de ecuaciones que resultan de las intersecciones de las rectas limitantes: - **Vértice A (Origen):** Intersección de $x = 0$ y $x - 4y = 0$. $$A(0, 0)$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 0$ y $y = 40$. $$B(0, 40)$$ - **Vértice C:** Intersección de $y = 40$ y $x + y = 70$. Si $y = 40 \implies x + 40 = 70 \implies x = 30$. $$C(30, 40)$$ - **Vértice D:** Intersección de $x + y = 70$ y $x - 4y = 0$. De la segunda, $x = 4y$. Sustituimos en la primera: $$4y + y = 70 \implies 5y = 70 \implies y = 14$$ $$x = 4(14) = 56$$ $$D(56, 14)$$ Visualizamos la región factible y estos puntos en el siguiente gráfico:

Evaluamos el beneficio $Z(x, y) = 3000x + 2500y$ en cada uno de los vértices hallados: - $Z(A) = Z(0, 0) = 3000(0) + 2500(0) = 0 \text{ €}$ - $Z(B) = Z(0, 40) = 3000(0) + 2500(40) = 100.000 \text{ €}$ - $Z(C) = Z(30, 40) = 3000(30) + 2500(40) = 90.000 + 100.000 = 190.000 \text{ €}$ - $Z(D) = Z(56, 14) = 3000(56) + 2500(14) = 168.000 + 35.000 = 203.000 \text{ €}$ El beneficio máximo se obtiene en el vértice $D$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Hay que repartir 56 unidades del formato S y 14 unidades del formato L}}$$ $$\boxed{\text{El beneficio máximo ascenderá a 203.000 euros}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de maximización, si la región factible es cerrada (acotada), el máximo siempre se encontrará en uno de los vértices del recinto.