Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Clasificar el sistema en función de los distintos valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 1 \\ 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & a & | & 0 \end{pmatrix}$$ Para clasificar el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de la matriz $A$ a través de su determinante. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas y el sistema es Compatible Determinado.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = [1 \cdot (-1) \cdot a + 0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot a + 0 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [-a + 0 + 1] - [-1 + a + 0] = 1 - a - (-1 + a) = 1 - a + 1 - a = 2 - 2a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2 - 2a = 0 \implies 2a = 2 \implies \mathbf{a = 1}$$

Analizamos los casos posibles según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede superar 3 y contiene a $A$, también $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una solución única. **Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, el determinante es $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ estudiando el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - (-1)) = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución.

**b) Resolver el sistema para $a = -1$.** Si $a = -1$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $a$ en el sistema: $$\begin{cases} x + z = 1 \\ x - y + z = 0 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$$ Calculamos el determinante para este valor: $|A| = 2 - 2(-1) = 4$. Utilizamos la **Regla de Cramer** para hallar las incógnitas: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{4} = \frac{1 \cdot (1 - 1)}{4} = \frac{0}{4} = 0$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}}{4} = \frac{-1 \cdot (-1 - 1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}}{4} = \frac{1 \cdot (1 - (-1))}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** También puedes resolverlo por el método de reducción (Gauss) o sustitución. Por ejemplo, de la primera ecuación $z = 1 - x$, sustituyendo en las otras dos se simplifican mucho las operaciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 0, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = \frac{1}{2}}$$