Optimización de costes variables

**a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los costes variables en esa factoría.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento (monotonía) de una función, primero debemos calcular su derivada $c'(x)$. La función es $c(x) = 2x + 720 + 80000x^{-1}$. Derivamos término a término: - La derivada de $2x$ es $2$. - La derivada de $720$ es $0$. - La derivada de $\frac{80000}{x}$ (que es $80000x^{-1}$) es $-80000x^{-2}$, es decir, $-\frac{80000}{x^2}$. Por tanto: $$c'(x) = 2 - \frac{80000}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una constante es cero y que para derivar $\frac{k}{x}$ puedes usar la regla de la potencia como $k \cdot x^{-1}$, cuya derivada es $-k \cdot x^{-2}$. $$\boxed{c'(x) = 2 - \frac{80000}{x^2}}$$

Los puntos críticos son aquellos donde la derivada se anula ($c'(x) = 0$). Estos puntos dividen el dominio en intervalos de crecimiento y decrecimiento. $$2 - \frac{80000}{x^2} = 0 \implies 2 = \frac{80000}{x^2} \implies 2x^2 = 80000$$ Dividimos entre 2: $$x^2 = 40000 \implies x = \pm\sqrt{40000} \implies x = \pm 200$$ Como el enunciado indica que $x > 0$ (no se pueden producir toneladas negativas), el único punto crítico válido es **$x = 200$**. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos verificar que las soluciones matemáticas pertenecen al dominio del problema ($x > 0$ en este caso). $$\boxed{x = 200}$$

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, evaluamos el signo de $c'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(0, 200)$ y $(200, +\infty)$. - Para $x \in (0, 200)$, probamos con $x = 100$: $c'(100) = 2 - \frac{80000}{100^2} = 2 - 8 = -6 \lt 0$ (**Decreciente**). - Para $x \in (200, +\infty)$, probamos con $x = 400$: $c'(400) = 2 - \frac{80000}{400^2} = 2 - 0.5 = 1.5 \gt 0$ (**Creciente**). **Tabla de signos de $c'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 200) & 200 & (200, +\infty)\\\hline c'(x) & - & 0 & +\\\hline c(x) & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decreciente en } (0, 200) \\ &\text{Creciente en } (200, +\infty) \end{aligned}}$$

**b) Calcular el coste variable mínimo y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste mínimo.** Según el estudio de la monotonía en el apartado anterior, al pasar de decreciente a creciente en $x=200$, la función alcanza un **mínimo relativo** en ese punto. El número de toneladas a producir para minimizar el coste es: $$\boxed{x = 200 \text{ toneladas}}$$ Para calcular el coste mínimo, sustituimos $x = 200$ en la función original $c(x)$: $$c(200) = 2(200) + 720 + \frac{80000}{200}$$ $$c(200) = 400 + 720 + 400 = 1520$$ Como los costes vienen dados en miles de euros, el coste mínimo es de **1520 miles de euros** (o 1.520.000 €). ✅ **Resultado (mínimo):** $$\boxed{\text{Coste mínimo: } 1520 \text{ miles de euros con } 200 \text{ toneladas producidas}}$$