Estudio de continuidad y cálculo de área integral

**a) Estudiar la continuidad de la función $f(x)$ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.** Primero analizamos la continuidad de cada una de las funciones que forman las ramas por separado: 1. Para $x \lt 0$, la función es $f(x) = 6x - 1$. Se trata de una función polinómica de primer grado, por lo que es **continua** en el intervalo $(-\infty, 0)$. 2. Para $x \gt 0$, la función es $f(x) = \frac{1}{x}$. Esta es una función racional cuyo único punto problemático es $x = 0$. Como el valor $0$ no está incluido en este intervalo ($x \gt 0$), la función es **continua** en $(0, +\infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones polinómicas son continuas en toda la recta real y las racionales lo son en todos los puntos excepto en aquellos que anulan el denominador.

Ahora estudiamos qué ocurre en el punto donde se produce el salto entre ramas, es decir, en $x = 0$. Para que la función sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. **Existe $f(0)$:** $$f(0) = 6(0) - 1 = -1$$ 2. **Existen los límites laterales y son finitos:** - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (6x - 1) = 6(0) - 1 = -1$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ 3. Como los límites laterales no coinciden (uno de ellos es infinito), no existe el límite de la función en $x = 0$. 💡 **Tip:** Cuando uno de los límites laterales es infinito, estamos ante una **discontinuidad de salto infinito**. ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{\text{La función es continua en } \mathbb{R} \setminus \{0\}. \text{ En } x = 0 \text{ presenta una discontinuidad de salto infinito.}}$$

**b) Calcular el área limitada por la función $f(x)$ y el eje de abscisas en el intervalo $[1, 10]$, dibujando el recinto correspondiente.** El intervalo pedido es $[1, 10]$. Observando la definición de la función, para cualquier valor de $x \ge 1$, estamos en la segunda rama: $$f(x) = \frac{1}{x} \quad \text{si } x \in [1, 10]$$ Como $f(x) = \frac{1}{x}$ es siempre positiva en el intervalo $[1, 10]$, el área $A$ se calcula directamente mediante la integral definida: $$A = \int_{1}^{10} \frac{1}{x} \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una curva positiva $f(x)$ entre $x=a$ y $x=b$ coincide con el valor de la integral definida $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Calculamos la primitiva de la función y aplicamos la Regla de Barrow: Sabemos que la integral de $\frac{1}{x}$ es el logaritmo neperiano de su valor absoluto: $$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$ Aplicando los límites de integración de $1$ a $10$: $$A = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{10} = \ln(10) - \ln(1)$$ Como $\ln(1) = 0$, obtenemos: $$A = \ln(10) \approx 2.3026$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \ln(10) \text{ unidades}^2}$$