Intervalo de confianza y tamaño de la muestra

**a) Calcular el intervalo de confianza para la media $\mu$ al nivel de confianza del 99%.** Primero, extraemos los datos del enunciado para la variable $X$, que representa la recaudación diaria: - Distribución poblacional: $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 328)$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 1248$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 99%: 1. $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$. 2. $\alpha/2 = 0.005$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Buscando en la tabla $N(0,1)$, el valor de $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir la probabilidad deseada.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{328}{\sqrt{100}} = 2.575 \cdot \frac{328}{10} = 2.575 \cdot 32.8 = 84.46$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (1248 - 84.46, 1248 + 84.46) = (1163.54, 1332.46)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (1163.54, 1332.46)}$$

**b) ¿Qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de tiendas de dicha marca para alcanzar, con un nivel de confianza del 95%, un error máximo de 127 euros en la estimación de $\mu$?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. - Error máximo permitido: $E = 127$. - Desviación típica: $\sigma = 328$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95%: 1. $\alpha/2 = 0.025$. 2. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. 3. En la tabla normal $N(0,1)$, este valor exacto corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$

A partir de la fórmula del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, despejamos $n$: $$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1.96 \cdot 328}{127} \right)^2 = \left( \frac{642.88}{127} \right)^2 \approx (5.0620...)^2 \approx 25.624$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y buscamos el mínimo para que el error no sea superado, debemos **redondear siempre al entero superior**. $$n \ge 26$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (como .1), siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 26 \text{ tiendas}}$$