Probabilidad y Estadística 2023 Castilla y Leon
Probabilidad del test de antígenos SARS-COV-2
P6. (Estadística y probabilidad)
En los estudios realizados sobre un tipo de test de antígenos para detectar el SARS-COV-2 en cierta población, la probabilidad de que una persona enferma obtenga un resultado positivo es de 0.97, mientras que la probabilidad de que una persona sana obtenga un resultado negativo es de 0.90. En el momento de probar este tipo de test de antígenos, la probabilidad de que una persona esté enferma en esa población es 0.04. Si se elige una persona al azar de esa población y se le realiza este tipo de test de antígenos,
a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida obtenga un resultado positivo.
b) Si el resultado del test es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté enferma con SARS-COV-2?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) Calcular la probabilidad de que la persona elegida obtenga un resultado positivo.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $E$: La persona está enferma.
- $S$ o $\bar{E}$: La persona está sana.
- $+$: El resultado del test es positivo.
- $-$: El resultado del test es negativo.
Extraemos los datos del enunciado:
- Probabilidad de estar enfermo: $P(E) = 0.04$. Por tanto, $P(S) = 1 - 0.04 = 0.96$.
- Sensibilidad del test (enfermo da positivo): $P(+|E) = 0.97$. Por tanto, $P(-|E) = 1 - 0.97 = 0.03$.
- Especificidad del test (sano da negativo): $P(-|S) = 0.90$. Por tanto, $P(+|S) = 1 - 0.90 = 0.10$.
Organizamos la información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de positivo
Para calcular la probabilidad de obtener un resultado positivo $P(+)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Existen dos formas de dar positivo: estar enfermo y que el test lo detecte, o estar sano y que el test dé un falso positivo.
$$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(S) \cdot P(+|S)$$
Sustituimos los valores:
$$P(+) = 0.04 \cdot 0.97 + 0.96 \cdot 0.10$$
$$P(+) = 0.0388 + 0.096$$
$$P(+) = 0.1348$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos o ramas excluyentes de nuestro árbol.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(+) = 0.1348}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) Si el resultado del test es positivo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona elegida esté enferma con SARS-COV-2?**
Nos piden la probabilidad de que la persona esté enferma sabiendo que el test ha dado positivo, es decir, $P(E|+)$. Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(E|+) = \frac{P(E \cap +)}{P(+)} = \frac{P(E) \cdot P(+|E)}{P(+)}$$
Ya conocemos todos los valores necesarios del apartado anterior:
- $P(E) \cdot P(+|E) = 0.0388$
- $P(+) = 0.1348$
Realizamos la división:
$$P(E|+) = \frac{0.0388}{0.1348} \approx 0.2878$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad. Si conocemos la probabilidad de dar positivo estando enfermo, Bayes nos ayuda a saber la probabilidad de estar enfermo habiendo dado positivo.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|+) \approx 0.2878}$$