Rango de una matriz con parámetros

**Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 4 & 1 & 8 \\ -2 & b & 4 & c \end{pmatrix}$ hallar los valores $a$, $b$ y $c$ para que el rango de la matriz $A$ sea 1.** Para que una matriz de dimensiones $2 \times 4$ tenga rango 1, sus filas deben ser proporcionales. Esto significa que los elementos de la primera fila deben ser el resultado de multiplicar los de la segunda fila por una misma constante $k$, o viceversa. Como tenemos columnas con valores numéricos conocidos, podemos establecer la siguiente relación de proporcionalidad entre los elementos de ambas filas: $$\frac{a}{-2} = \frac{4}{b} = \frac{1}{4} = \frac{8}{c}$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Si el rango es 1, solo hay una fila independiente y la otra debe ser "múltiplo" de ella. $$\boxed{\text{Condición: } \frac{a}{-2} = \frac{4}{b} = \frac{1}{4} = \frac{8}{c}}$$

Utilizamos la igualdad entre la tercera y la cuarta columna para despejar $c$: $$\frac{1}{4} = \frac{8}{c}$$ Multiplicamos en cruz para resolver la ecuación: $$1 \cdot c = 8 \cdot 4$$ $$c = 32$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{c = 32}$$

Ahora utilizamos la igualdad entre la segunda y la tercera columna para hallar $b$: $$\frac{4}{b} = \frac{1}{4}$$ Nuevamente, multiplicamos en cruz: $$b \cdot 1 = 4 \cdot 4$$ $$b = 16$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = 16}$$

Finalmente, igualamos la primera columna con la tercera (que es nuestra referencia numérica fija): $$\frac{a}{-2} = \frac{1}{4}$$ Multiplicamos en cruz: $$4 \cdot a = 1 \cdot (-2)$$ $$4a = -2$$ Despejamos $a$ dividiendo entre 4: $$a = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las fracciones para dar el resultado de la forma más elegante posible. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -0,5 \text{ o } a = -\frac{1}{2}}$$

Para que el rango de la matriz sea 1, los valores deben ser: - **$a = -1/2$** - **$b = 16$** - **$c = 32$** Si sustituimos los valores en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1/2 & 4 & 1 & 8 \\ -2 & 16 & 4 & 32 \end{pmatrix}$$ Podemos observar claramente que la segunda fila $F_2$ es exactamente la primera fila $F_1$ multiplicada por 4 ($F_2 = 4 \cdot F_1$): - $(-1/2) \cdot 4 = -2$ - $4 \cdot 4 = 16$ - $1 \cdot 4 = 4$ - $8 \cdot 4 = 32$ Como las filas son proporcionales y no son todas nulas, el rango es efectivamente 1. ✅ **Resultado Final:** $$\boxed{a = -1/2, \; b = 16, \; c = 32}$$