Dominio de una función logarítmica

**Determinar su dominio de definición.** Para que una función logarítmica de la forma $f(x) = \ln(g(x))$ esté definida, es necesario que el argumento del logaritmo sea estrictamente positivo ($g(x) \gt 0$). El logaritmo no está definido ni para números negativos ni para el valor cero. En nuestro caso, debemos imponer la condición: $$x^2 - 4 \gt 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el dominio de $\ln(u)$ es $u \in (0, +\infty)$. Por tanto, siempre buscaremos los valores de $x$ que hagan el interior del logaritmo mayor que cero.

Para resolver la inecuación $x^2 - 4 \gt 0$, primero hallamos los puntos donde la expresión se anula (raíces), ya que en ellos es donde puede cambiar el signo de la función. Igualamos a cero: $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4$$ Extrayendo la raíz cuadrada obtenemos: $$x = \pm \sqrt{4} \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Estos dos puntos dividen la recta real en tres intervalos de estudio: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ y $(2, +\infty)$.

Evaluamos el signo de la expresión $x^2 - 4$ en cada uno de los intervalos para ver cuáles cumplen la condición de ser mayores que cero: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline x^2 - 4 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Podemos comprobarlo tomando valores de prueba: - Para $x = -3 \in (-\infty, -2)$: $(-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \gt 0$ (**Válido**). - Para $x = 0 \in (-2, 2)$: $0^2 - 4 = -4 \lt 0$ (**No válido**). - Para $x = 3 \in (2, +\infty)$: $3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \gt 0$ (**Válido**). 💡 **Tip:** Al ser una desigualdad estricta ($\gt$), los puntos donde la función vale cero ($x=-2$ y $x=2$) no pertenecen al dominio.

Combinando los intervalos donde la expresión es positiva, obtenemos el dominio de definición de la función. El dominio está formado por todos los números reales menores que $-2$ o mayores que $2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)}$$