Probabilidad de rescate e independencia de sucesos

**¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno llegue antes del anochecer?** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: - $A$: El equipo de la localidad A llega antes del anochecer. - $B$: El equipo de la localidad B llega antes del anochecer. El enunciado nos proporciona las siguientes probabilidades: - $P(A) = 0.7$ - $P(B) = 0.4$ Además, nos indican que los equipos actúan de manera **independiente**. Esto es fundamental, ya que implica que el hecho de que un equipo llegue no afecta a la probabilidad de que el otro lo haga. 💡 **Tip:** Si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, se cumple que la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Para visualizar todas las posibilidades, podemos construir un diagrama de árbol. En cada etapa representamos si el equipo llega ($A$ o $B$) o si no llega (representado por el complementario $\bar{A}$ o $\bar{B}$). Calculamos las probabilidades de los sucesos contrarios: - $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$

Nos piden la probabilidad de que **al menos uno** de los dos equipos llegue antes del anochecer. Esto corresponde matemáticamente a la unión de los sucesos $A$ y $B$, denotada como $P(A \cup B)$. Podemos resolverlo de dos formas distintas: **Método 1: Usando el suceso contrario** La frase "al menos uno" es la contraria de "ninguno". Por tanto: $$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B})$$ Utilizando los datos calculados en el árbol: $$P(A \cup B) = 1 - 0.18 = 0.82$$ **Método 2: Usando la fórmula de la unión** $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Al ser independientes, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.7 \cdot 0.4 = 0.28$. Sustituimos: $$P(A \cup B) = 0.7 + 0.4 - 0.28 = 1.1 - 0.28 = 0.82$$ 💡 **Tip:** El método del suceso contrario suele ser más rápido cuando el enunciado dice "al menos uno". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.82}$$ La probabilidad de que al menos uno de los equipos llegue antes del anochecer es del **82%**.