Problema de sistemas de ecuaciones: Precios de entradas

Para resolver este problema, primero debemos definir qué representa cada incógnita. Llamaremos: - $x$: Precio de la entrada al **teatro** (en euros). - $y$: Precio de la entrada al **baloncesto** (en euros). - $z$: Precio de la entrada al **concierto** (en euros). El enunciado nos dice que tras un descuento del $10\%$, pagamos $117$ euros. Esto significa que pagamos el $90\%$ del precio total sin descontar. $$0.90 \cdot (x + y + z) = 117$$ Para facilitar los cálculos, despejamos la suma total dividiendo por $0.90$: $$x + y + z = \frac{117}{0.90} = 130$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aplicar un descuento del $10\%$ equivale a multiplicar por $0.90$ (el $90\%$ restante). Si pagas $117€$ tras el descuento, el precio original se obtiene como $117 / 0.90$. $$\boxed{x + y + z = 130}$$

Ahora traducimos el resto de condiciones del enunciado a ecuaciones: 1. El precio de la entrada al concierto ($z$) es el **doble** que la del teatro ($x$): $$z = 2x$$ 2. La entrada al concierto ($z$) es **20 euros más cara** que la del baloncesto ($y$): $$z = y + 20$$ 💡 **Tip:** Al traducir lenguaje natural a lenguaje algebraico, fíjate bien en quién es el mayor. Si el concierto es 20€ más caro que el baloncesto, sumamos 20 al barato ($y$) para igualar al caro ($z$). Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + z = 130 \\ z = 2x \\ z = y + 20 \end{cases}$$ $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 130 \\ z = 2x \\ y = z - 20 \end{cases}}$$

Dado que tenemos $x$ e $y$ relacionados directamente con $z$, lo más sencillo es sustituir ambas en la primera ecuación para que todo quede en función de $z$: De $z = 2x$, despejamos $x$: $$x = \frac{z}{2}$$ De $z = y + 20$, despejamos $y$: $$y = z - 20$$ Sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación de la suma total ($x + y + z = 130$): $$\frac{z}{2} + (z - 20) + z = 130$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$z + 2(z - 20) + 2z = 260$$ $$z + 2z - 40 + 2z = 260$$ $$5z = 260 + 40$$ $$5z = 300$$ $$z = \frac{300}{5} = 60$$ Por tanto, el precio de la entrada al concierto es **60 euros**. $$\boxed{z = 60}$$

Una vez conocido el valor de $z = 60$, calculamos $x$ e $y$ sustituyendo en las expresiones anteriores: - Para el **teatro** ($x$): $$x = \frac{z}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ euros}$$ - Para el **baloncesto** ($y$): $$y = z - 20 = 60 - 20 = 40 \text{ euros}$$ **Comprobación:** - Suma de precios: $30 + 40 + 60 = 130€$. - Con el $10\%$ de descuento: $130 \cdot 0.90 = 117€$. (Correcto). - Concierto ($60$) es el doble de teatro ($30$). (Correcto). - Concierto ($60$) es $20$ más que baloncesto ($40$). (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{text{Teatro: } 30 \text{ €} \\ \text{Baloncesto: } 40 \text{ €} \\ \text{Concierto: } 60 \text{ €} \end{cases}}$$