Operaciones con matrices y parámetros

**a) Hallar los valores de $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad $A \cdot B = C$.** Primero, calculamos el producto $A \cdot B$. La matriz $A$ es de dimensiones $2 \times 3$ y la matriz $B$ es de $3 \times 2$, por lo que el resultado será una matriz de dimensiones $2 \times 2$. $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ -1 & 1 & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & b \\ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento $(1,1)$: $2 \cdot 1 + a \cdot 4 + 0 \cdot 1 = 2 + 4a$ - Elemento $(1,2)$: $2 \cdot b + a \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 2b + 2a$ - Elemento $(2,1)$: $(-1) \cdot 1 + 1 \cdot 4 + a \cdot 1 = -1 + 4 + a = 3 + a$ - Elemento $(2,2)$: $(-1) \cdot b + 1 \cdot 2 + a \cdot 3 = -b + 2 + 3a$ Por tanto: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 + 4a & 2b + 2a \\ 3 + a & -b + 2 + 3a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ se obtiene multiplicando la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Igualamos la matriz resultante al valor de $C$ dado en el enunciado: $$\begin{pmatrix} 2 + 4a & 2b + 2a \\ 3 + a & -b + 2 + 3a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos en la misma posición. Esto nos genera un sistema de ecuaciones: 1. $2 + 4a = -2$ 2. $3 + a = 2$ 3. $2b + 2a = 2$ 4. $-b + 2 + 3a = -3$ De la ecuación (2) obtenemos directamente: $$a = 2 - 3 \implies \mathbf{a = -1}$$ Comprobamos en la ecuación (1): $2 + 4(-1) = 2 - 4 = -2$. Se cumple. Sustituimos $a = -1$ en la ecuación (3) para hallar $b$: $$2b + 2(-1) = 2 \implies 2b - 2 = 2 \implies 2b = 4 \implies \mathbf{b = 2}$$ Finalmente, comprobamos en la ecuación (4): $$-2 + 2 + 3(-1) = 0 - 3 = -3$$. Se cumple. ✅ **Resultado (valores de a y b):** $$\boxed{a = -1, \quad b = 2}$$

**b) Para $a = 2$ y $b = 4$, resolver la ecuación matricial $X = A \cdot B + 3C$.** Sustituimos los valores $a = 2$ y $b = 4$ en las matrices originales: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos de nuevo el producto $A \cdot B$ con estos valores específicos: $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 0 \cdot 1 & 2 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \\ -1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 & -1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 + 8 + 0 & 8 + 4 + 0 \\ -1 + 4 + 2 & -4 + 2 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al operar, especialmente en la segunda fila donde aparecen elementos negativos.

Calculamos ahora el término $3C$: $$3C = 3 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot (-2) & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$$ Ahora, sumamos ambos resultados para hallar $X$: $$X = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 10 + (-6) & 12 + 6 \\ 5 + 6 & 4 + (-9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 11 & -5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 11 & -5 \end{pmatrix}}$$