Potencia de un ciclista

**a) ¿Qué potencia alcanzó en el momento de iniciar la segunda parte de la etapa? ¿En qué intervalo de esa segunda parte alcanzó una potencia inferior a 272 vatios?** El enunciado nos indica que la segunda parte de la etapa comienza en el instante $t = 3$. Para saber la potencia en ese momento, simplemente debemos sustituir $t = 3$ en la función de potencia dada: $$f(3) = -32(3)^2 + 352(3) - 568$$ Realizamos las operaciones paso a paso: 1. Calculamos el cuadrado: $3^2 = 9$. 2. Multiplicamos: $-32 \cdot 9 = -288$ y $352 \cdot 3 = 1056$. 3. Sumamos los términos: $f(3) = -288 + 1056 - 568 = 200$. 💡 **Tip:** Recuerda que para evaluar una función en un punto, sustituimos la variable independiente (en este caso $t$) por el valor dado y seguimos el orden de prioridad de las operaciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{200 \text{ vatios}}$$

Para hallar el intervalo donde la potencia es inferior a 272 vatios, debemos resolver la inecuación $f(t) \lt 272$ dentro del dominio dado $[3, 6]$: $$-32t^2 + 352t - 568 \lt 272$$ Pasamos todos los términos a un lado para dejar un cero en el otro: $$-32t^2 + 352t - 568 - 272 \lt 0 \implies -32t^2 + 352t - 840 \lt 0$$ Para facilitar el cálculo, podemos simplificar dividiendo toda la expresión entre $-8$ (recordando que al dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia): $$4t^2 - 44t + 105 \gt 0$$ Buscamos las raíces de la ecuación cuadrática $4t^2 - 44t + 105 = 0$: $$t = \frac{-(-44) \pm \sqrt{(-44)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 105}}{2 \cdot 4} = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 1680}}{8} = \frac{44 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{44 \pm 16}{8}$$ Las dos soluciones son: - $t_1 = \frac{44 - 16}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$ - $t_2 = \frac{44 + 16}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$ Como la parábola $4t^2 - 44t + 105$ abre hacia arriba, los valores mayores que cero están fuera del intervalo $(3.5, 7.5)$. Es decir, en $t \lt 3.5$ o $t \gt 7.5$. Teniendo en cuenta que nuestro dominio es $3 \le t \le 6$, el intervalo buscado es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{[3, 3.5)}$$

**b) ¿Al cabo de cuántas horas alcanzó la máxima potencia? Calcular esa potencia máxima.** Para encontrar el máximo de la función $f(t)$, calculamos su primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(t) = \frac{d}{dt}(-32t^2 + 352t - 568) = -64t + 352$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-64t + 352 = 0 \implies 64t = 352 \implies t = \frac{352}{64} = 5.5 \text{ horas}$$ Para asegurar que es un máximo, calculamos la segunda derivada: $$f''(t) = -64$$ Como $f''(5.5) = -64 \lt 0$, confirmamos que en **$t = 5.5$ hay un máximo relativo**. 💡 **Tip:** Un punto donde la derivada es cero es un máximo si la segunda derivada en ese punto es negativa (curvatura hacia abajo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 5.5 \text{ horas}}$$

Sustituimos el valor del tiempo $t = 5.5$ en la función original para obtener la potencia máxima: $$f(5.5) = -32(5.5)^2 + 352(5.5) - 568$$ Realizamos los cálculos: 1. $5.5^2 = 30.25$ 2. $-32 \cdot 30.25 = -968$ 3. $352 \cdot 5.5 = 1936$ 4. $f(5.5) = -968 + 1936 - 568 = 400$ La potencia máxima alcanzada fue de **400 vatios**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{400 \text{ vatios}}$$