Continuidad de una función a trozos y cálculo de área

**a) Estudiar la continuidad de $f(x)$ en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.** Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, primero analizamos cada una de las ramas de forma individual en sus intervalos abiertos: 1. En el intervalo $(-\infty, 1)$, la función es $f(x) = x^2$. Se trata de una **función polinómica**, por lo que es continua en todo este intervalo. 2. En el intervalo $(1, +\infty)$, la función es $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Esta es una **función racional**. El denominador se anula cuando: $$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$ Como $x = 0,5$ no pertenece al intervalo $(1, +\infty)$, la función no presenta problemas de definición en este tramo y es continua. 💡 **Tip:** Las funciones polinómicas son continuas en toda la recta real. Las funciones racionales son continuas en todo su dominio, excepto en los puntos que anulan el denominador.

Ahora debemos estudiar qué ocurre en el punto de división de las ramas, $x = 1$. Para que la función sea continua en $x = 1$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales. Calculamos el valor de la función: $$f(1) = 1^2 = 1$$ Calculamos los límites laterales: - **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1$$ - **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{2x-1} = \frac{1}{2(1)-1} = \frac{1}{1} = 1$$ Como $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 1$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}. \text{ No existen puntos de discontinuidad.}}$$

**b) Determinar el área encerrada entre $f(x)$ y el eje OX en el intervalo $[0, 1]$, dibujando el recinto correspondiente.** En el intervalo $[0, 1]$, la función viene definida por la primera rama: $$f(x) = x^2$$ El eje OX corresponde a la recta $y = 0$. Puesto que $x^2 \ge 0$ para cualquier $x$ en el intervalo $[0, 1]$, el área buscada viene dada por la integral definida: $$A = \int_{0}^{1} x^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una función positiva coincide directamente con el valor de la integral definida entre los límites indicados.

Calculamos la integral definida aplicando la **Regla de Barrow**: 1. Hallamos una primitiva de $x^2$: $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$ 2. Evaluamos en los límites de integración $[0, 1]$: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$$ El área es de $\frac{1}{3}$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{3} \text{ u}^2 \approx 0,333 \text{ u}^2}$$