Probabilidad y Estadística 2023 Castilla y Leon
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral
P5. (Estadística y probabilidad)
El precio del litro de gasolina en una provincia sigue una distribución normal con media desconocida $\mu$ y desviación típica 0.05 euros. Un día cualquiera se toma una muestra de 10 estaciones de servicio, elegidas al azar en dicha provincia, registrando los siguientes precios del litro de gasolina (en euros):
1.612 1.739 1.625 1.771 1.642 1.713 1.705 1.654 1.632 1.647
a) Con esta muestra, determinar un intervalo de confianza, al nivel del 95 %, para la media poblacional $\mu$ (en euros) del precio del litro de gasolina en esa provincia.
b) Para un nivel de confianza del 99 %, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra que hay que tomar en esa provincia para que el error cometido al estimar la media poblacional $\mu$ (en euros) sea inferior a 2 céntimos de euro?
Paso 1
Identificación de los datos y cálculo de la media muestral
**a) Con esta muestra, determinar un intervalo de confianza, al nivel del 95 %, para la media poblacional $\mu$ (en euros) del precio del litro de gasolina en esa provincia.**
Primero, identificamos los datos del problema:
- La población sigue una distribución normal: $N(\mu, \sigma) = N(\mu, 0.05)$.
- El tamaño de la muestra es $n = 10$.
- Los valores de la muestra son: $\{1.612, 1.739, 1.625, 1.771, 1.642, 1.713, 1.705, 1.654, 1.632, 1.647\}$.
Calculamos la media muestral $\bar{x}$:
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1.612 + 1.739 + 1.625 + 1.771 + 1.642 + 1.713 + 1.705 + 1.654 + 1.632 + 1.647}{10}$$
$$\bar{x} = \frac{16.74}{10} = 1.674 \text{ euros}$$
💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional y es el centro de nuestro intervalo de confianza.
Paso 2
Determinación del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Para un nivel de confianza del $95\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.95$.
Calculamos $\alpha$:
$$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$.
Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.975$:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$
💡 **Tip:** Recuerda que los niveles de confianza más habituales son $90\%$ ($z_{\alpha/2}=1.645$), $95\%$ ($z_{\alpha/2}=1.96$) y $99\%$ ($z_{\alpha/2}=2.575$).
Paso 3
Cálculo del error máximo y del intervalo de confianza
La fórmula del error máximo admisible es:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$E = 1.96 \cdot \frac{0.05}{\sqrt{10}} = 1.96 \cdot \frac{0.05}{3.1623} \approx 1.96 \cdot 0.01581 = 0.03099 \approx 0.031$$
El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (1.674 - 0.031, 1.674 + 0.031) = (1.643, 1.705)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C._{95\%} = (1.643, 1.705)}$$
Paso 4
Determinación del nuevo valor crítico para el 99%
**b) Para un nivel de confianza del 99 %, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra que hay que tomar en esa provincia para que el error cometido al estimar la media poblacional $\mu$ (en euros) sea inferior a 2 céntimos de euro?**
Ahora los datos cambian:
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$.
- Error máximo permitido: $E < 2 \text{ céntimos} = 0.02 \text{ euros}$.
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
$$1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$
$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$.
Buscando en la tabla normal, el valor de $0.995$ está a medio camino entre $2.57$ y $2.58$, por lo que usamos:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$
💡 **Tip:** Si tu profesor prefiere redondear, puedes usar $2.58$, pero $2.575$ es más preciso.
Paso 5
Cálculo del tamaño mínimo de la muestra
Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$
Sustituimos los datos del apartado:
$$n > \left( \frac{2.575 \cdot 0.05}{0.02} \right)^2$$
$$n > \left( \frac{0.12875}{0.02} \right)^2 = (6.4375)^2$$
$$n > 41.4414$$
Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a 0.02, debemos redondear siempre al entero superior.
✅ **Resultado (Tamaño de muestra):**
$$\boxed{n \ge 42}$$
💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba, aunque el decimal sea pequeño, para garantizar que el error sea menor al solicitado.