Probabilidad de goles en penaltis (Mundial de fútbol)

Para resolver este problema, lo primero es definir claramente los sucesos involucrados y traducir los porcentajes del enunciado a probabilidades decimales. Definimos los siguientes sucesos: - $D$: El jugador que lanza el penalti es **diestro**. - $Z$: El jugador que lanza el penalti es **zurdo**. - $G$: El jugador **marca gol**. - $\bar{G}$: El jugador **no marca gol** (suceso contrario a $G$). Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(D) = 0.78$ - $P(Z) = 1 - 0.78 = 0.22$ (ya que el resto de penaltis son lanzados por zurdos). Probabilidades condicionadas (según el pie del lanzador): - $P(G|D) = 0.82 \implies P(\bar{G}|D) = 1 - 0.82 = 0.18$ - $P(G|Z) = 0.88 \implies P(\bar{G}|Z) = 1 - 0.88 = 0.12$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de los sucesos que parten de un mismo nodo en un árbol debe ser siempre 1.

Visualizar el problema mediante un diagrama de árbol facilita enormemente el cálculo de las probabilidades compuestas.

**a) ¿Qué probabilidad hay de que marque gol?** Para calcular la probabilidad total de marcar gol, sumamos las probabilidades de marcar gol siendo diestro y de marcar gol siendo zurdo. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(G) = P(D) \cdot P(G|D) + P(Z) \cdot P(G|Z)$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(G) = (0.78 \cdot 0.82) + (0.22 \cdot 0.88)$$ $$P(G) = 0.6396 + 0.1936$$ $$P(G) = 0.8332$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (marcar gol) puede ocurrir a través de varios caminos disjuntos (ser diestro o ser zurdo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G) = 0.8332}$$

**b) Si al lanzar el penalti no se marcó gol, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador que lanzó el penalti sea zurdo?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicaremos el **Teorema de Bayes**. Queremos calcular $P(Z|\bar{G})$. Primero, calculamos la probabilidad de que no se marque gol, $P(\bar{G})$: $$P(\bar{G}) = 1 - P(G) = 1 - 0.8332 = 0.1668$$ Ahora aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(Z|\bar{G}) = \frac{P(Z \cap \bar{G})}{P(\bar{G})} = \frac{P(Z) \cdot P(\bar{G}|Z)}{P(\bar{G})}$$ Sustituimos los valores: $$P(Z|\bar{G}) = \frac{0.22 \cdot 0.12}{0.1668} = \frac{0.0264}{0.1668}$$ $$P(Z|\bar{G}) \approx 0.158273...$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(Z|\bar{G}) \approx 0.1583$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad. Si conocemos $P(\bar{G}|Z)$, Bayes nos permite hallar $P(Z|\bar{G})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Z|\bar{G}) \approx 0.1583}$$