Justificación de un sistema compatible indeterminado

**Dado el sistema $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \\ 3x - 3y - 3z = 0 \end{cases}$ justifica que es un sistema compatible e indeterminado.** En primer lugar, expresamos el sistema en forma matricial. Identificamos la matriz de los coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$), que incluye los términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -3 & -3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 0 \\ 3 & -3 & -3 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que se trata de un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible, pues al menos admite la solución trivial $(0, 0, 0)$. El objetivo es ver si solo tiene esa (determinado) o si tiene infinitas (indeterminado).

Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante. Podemos observar que la tercera fila ($F_3$) es proporcional a la segunda fila ($F_2$), concretamente $F_3 = 3F_2$: $$\begin{cases} F_2: x - y - z = 0 \\ F_3: 3x - 3y - 3z = 0 \end{cases}$$ Si aplicamos la propiedad de los determinantes que dice que si una fila es proporcional a otra, el determinante es cero: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & -3 & -3 \end{vmatrix} = 0$$ Como el determinante de orden 3 es cero, el $ran(A) \lt 3$. Buscamos ahora un menor de orden 2 que sea distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, concluimos que: $$\boxed{ran(A) = 2}$$

En los sistemas homogéneos, la matriz ampliada $A^*$ no añade información relevante para el rango, ya que la última columna es de ceros. Por tanto: $$ran(A) = ran(A^*) = 2$$ Ahora comparamos el rango con el número de incógnitas ($n$), que en este caso es $3$ ($x, y, z$): 1. $ran(A) = ran(A^*)$, lo que indica que el sistema es **Compatible**. 2. $ran(A) = 2 \lt n = 3$, lo que indica que el sistema es **Indeterminado**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser el rango menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. 💡 **Tip:** Recuerda que si $ran(A) = ran(A^*) = n$, el sistema es Compatible Determinado (solución única). Si $ran(A) = ran(A^*) \lt n$, es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Como } ran(A) = ran(A^*) = 2 \lt 3, \text{ el sistema es compatible indeterminado.}}$$