Cálculo del dominio de una función con raíz cuadrada

La función $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$ es una función irracional con una raíz de índice par (cuadrada). Para que la función esté definida dentro del conjunto de los números reales, el radicando (la expresión dentro de la raíz) debe ser **mayor o igual a cero**, ya que no existen raíces reales de números negativos. Por tanto, debemos resolver la siguiente inecuación: $$x^2 - 1 \ge 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el dominio de una función del tipo $f(x) = \sqrt{g(x)}$ se halla resolviendo la inecuación $g(x) \ge 0$.

Para resolver $x^2 - 1 \ge 0$, primero buscamos los puntos críticos igualando la expresión a cero: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1, \quad x = -1$$ Estos dos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ y $(1, +\infty)$. Estudiamos el signo de la expresión $x^2 - 1$ en cada tramo eligiendo un valor de prueba: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline x^2-1 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ - Para $x = -2$: $(-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \gt 0$. (Positivo) - Para $x = 0$: $0^2 - 1 = -1 \lt 0$. (Negativo) - Para $x = 2$: $2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \gt 0$. (Positivo) Como buscamos los valores donde $x^2 - 1$ es **mayor o igual a cero**, seleccionamos los intervalos positivos e incluimos los extremos donde la expresión vale exactamente cero.

A partir del estudio de signos realizado en el paso anterior, concluimos que la función existe cuando $x$ pertenece a los intervalos $(-\infty, -1]$ y $[1, +\infty)$. El dominio de definición es la unión de estos dos intervalos: $$\text{Dom}(f) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$ También se puede expresar como todos los números reales excepto el intervalo abierto entre $-1$ y $1$: $$\mathbb{R} \setminus (-1, 1)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)}$$ Podemos visualizar gráficamente que la función solo existe a la izquierda de $-1$ y a la derecha de $1$: