Probabilidad de coincidencia de cumpleaños

Para resolver este problema, definimos el suceso de interés: - $A$: "Al menos dos de las tres amigas coinciden en el día de su cumpleaños". En probabilidad, cuando nos preguntan por la probabilidad de que ocurra "al menos uno" o "alguna coincidencia", suele ser mucho más sencillo calcular primero la probabilidad del suceso contrario: - $\bar{A}$: "Ninguna de las tres amigas coincide en el día de su cumpleaños" (es decir, las tres cumplen años en días diferentes). La relación entre ambos es: $$P(A) = 1 - P(\bar{A})$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad del suceso contrario es una herramienta muy útil cuando el cálculo directo del suceso original es complejo o requiere sumar muchos casos distintos.

Calculamos el número total de formas en las que las tres amigas pueden cumplir años. Como consideramos un año no bisiesto, hay $365$ días posibles para cada persona. Para la primera amiga hay $365$ opciones, para la segunda $365$ y para la tercera otras $365$. Por el principio multiplicativo: $$\text{Casos totales} = 365 imes 365 imes 365 = 365^3$$ $$\boxed{\text{Casos totales} = 48.627.125}$$ 💡 **Tip:** Estamos ante un problema de variaciones con repetición de $365$ elementos tomados de $3$ en $3$: $VR_{365,3} = 365^3$.

Calculamos ahora de cuántas formas pueden cumplir años de manera que **ninguna coincida** (todas en días distintos): - La primera amiga puede cumplir años cualquier día: **$365$ opciones**. - La segunda amiga, para no coincidir con la primera, tiene que cumplir años en uno de los días restantes: **$364$ opciones**. - La tercera amiga, para no coincidir con ninguna de las anteriores, tiene: **$363$ opciones**. Por tanto, los casos favorables a que no coincidan son: $$\text{Casos favorables a } \bar{A} = 365 imes 364 imes 363 = 48.228.180$$ 💡 **Tip:** Esto equivale a variaciones sin repetición de $365$ elementos tomados de $3$ en $3$: $V_{365,3} = \frac{365!}{(365-3)!}$.

Primero calculamos la probabilidad de que no coincidan ($P(\bar{A})$) usando la regla de Laplace: $$P(\bar{A}) = \frac{\text{Casos favorables a } \bar{A}}{\text{Casos totales}} = \frac{365 \cdot 364 \cdot 363}{365^3} = \frac{364 \cdot 363}{365^2}$$ Operamos: $$P(\bar{A}) = \frac{132.132}{133.225} \approx 0,9918$$ Finalmente, calculamos la probabilidad de que al menos dos coincidan ($P(A)$): $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,9918 = 0,0082$$ Expresado en porcentaje, la probabilidad es del $0,82\%$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(\text{alguna coincidencia}) \approx 0,0082 \text{ (o } 0,82\%\text{)}} $$