Optimización de una función objetivo sujeta a restricciones

**a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1.25 puntos)** Para representar la región factible, primero convertimos las desigualdades de las restricciones en igualdades para obtener las rectas que limitan el recinto: 1. **$r_1: x + y = 2$**. Puntos de corte: $(0, 2)$ y $(2, 0)$. 2. **$r_2: x - 2y = 5$**. Puntos de corte: $(5, 0)$ y $(1, -2)$. 3. **$r_3: y = 0$**. Es el propio eje $X$. 4. **$r_4: x = 1$**. Es una recta vertical que pasa por $x = 1$. 💡 **Tip:** Para dibujar una recta, basta con dar dos valores a una variable y despejar la otra. Por ejemplo, en $x+y=2$, si $x=0 \implies y=2$; si $y=0 \implies x=2$.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las intersecciones de las rectas que delimitan la región factible: * **Vértice A:** Intersección de $r_4$ ($x=1$) y $r_3$ ($y=0$). Directamente obtenemos: **$A(1, 0)$**. * **Vértice B:** Intersección de $r_1$ ($x+y=2$) y $r_3$ ($y=0$). $x + 0 = 2 \implies x = 2$. Obtenemos: **$B(2, 0)$**. * **Vértice C:** Intersección de $r_1$ ($x+y=2$) y $r_2$ ($x-2y=5$). Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x + y = 2 \\ x - 2y = 5 \end{cases}$$ Restando la segunda a la primera: $(x-x) + (y - (-2y)) = 2 - 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$. Sustituyendo $y = -1$ en la primera: $x - 1 = 2 \implies x = 3$. Obtenemos: **$C(3, -1)$**. * **Vértice D:** Intersección de $r_2$ ($x-2y=5$) y $r_4$ ($x=1$). $1 - 2y = 5 \implies -2y = 4 \implies y = -2$. Obtenemos: **$D(1, -2)$**. 💡 **Tip:** Siempre verifica que los vértices hallados cumplen el resto de las desigualdades del problema para asegurar que pertenecen a la región factible. ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(1, 0), B(2, 0), C(3, -1), D(1, -2)}$$

A continuación, se representa la región factible sombreada, delimitada por los vértices calculados. Comprobamos que el punto interior $(1.5, -0.5)$ cumple todas las restricciones: - $1.5 - 0.5 = 1 \le 2$ (Sí) - $1.5 - 2(-0.5) = 2.5 \le 5$ (Sí) - $-0.5 \le 0$ (Sí) - $1.5 \ge 1$ (Sí)

**b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0.25 puntos)** Para optimizar (hallar el máximo y el mínimo) la función $f(x, y) = 4x + 5y - 3$, evaluamos dicha función en cada uno de los vértices de la región factible: * En $A(1, 0)$: $f(1, 0) = 4(1) + 5(0) - 3 = 4 - 3 = 1$ * En $B(2, 0)$: $f(2, 0) = 4(2) + 5(0) - 3 = 8 - 3 = 5$ * En $C(3, -1)$: $f(3, -1) = 4(3) + 5(-1) - 3 = 12 - 5 - 3 = 4$ * En $D(1, -2)$: $f(1, -2) = 4(1) + 5(-2) - 3 = 4 - 10 - 3 = -9$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que, si existe una solución óptima, esta se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento de la frontera) de la región factible.

Comparando los valores obtenidos en el paso anterior: - El valor máximo es **5** y se alcanza en el punto **$B(2, 0)$**. - El valor mínimo es **$-9$** y se alcanza en el punto **$D(1, -2)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } f(2, 0) = 5, \quad \text{Mínimo: } f(1, -2) = -9}$$