Sistema de ecuaciones: Cuadros en una galería de arte

**a) Plantea el sistema de ecuaciones para determinar cuántos cuadros tiene cada artista en la galería. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas que representarán el número de cuadros de cada artista: - $x$: número de cuadros del artista de **arte urbano**. - $y$: número de cuadros del artista de **arte abstracto**. - $z$: número de cuadros del artista de **grafiti**. A continuación, traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "El $40 \%$ de la suma de los cuadros pintados por el primero y el segundo es $28$": $$0.40(x + y) = 28$$ 2. "El doble de los cuadros del que realiza arte abstracto equivale al triple de los cuadros del que hace grafiti": $$2y = 3z$$ 3. "En total, en la galería disponen de $110$ cuadros": $$x + y + z = 110$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con porcentajes, recuerda que el $40\%$ de una cantidad se expresa multiplicando por $0.40$ o por $\frac{40}{100}$.

Para facilitar la resolución, simplificamos las ecuaciones obtenidas: De la primera ecuación: $$0.40(x + y) = 28 \implies x + y = \frac{28}{0.40} \implies x + y = 70$$ De la segunda ecuación: $$2y = 3z \implies 2y - 3z = 0$$ El sistema de ecuaciones lineales queda de la siguiente forma: $$\begin{cases} x + y = 70 \\ 2y - 3z = 0 \\ x + y + z = 110 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + y = 70 \\ 2y - 3z = 0 \\ x + y + z = 110 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Observamos que podemos sustituir directamente el valor de la suma $(x + y)$ de la primera ecuación en la tercera ecuación. Como sabemos que $x + y = 70$, sustituimos en: $$(x + y) + z = 110$$ $$70 + z = 110$$ $$z = 110 - 70$$ $$z = 40$$ 💡 **Tip:** Sustituir bloques de variables (como $x+y$) es mucho más rápido que despejar una a una si el sistema lo permite. El artista de **grafiti** tiene **$40$ cuadros**.

Ahora que conocemos el valor de $z = 40$, utilizamos la segunda ecuación para hallar $y$: $$2y - 3z = 0$$ $$2y - 3(40) = 0$$ $$2y - 120 = 0$$ $$2y = 120$$ $$y = \frac{120}{2}$$ $$y = 60$$ El artista de **arte abstracto** tiene **$60$ cuadros**.

Finalmente, utilizamos la primera ecuación (o la tercera) para hallar $x$: $$x + y = 70$$ $$x + 60 = 70$$ $$x = 70 - 60$$ $$x = 10$$ El artista de **arte urbano** tiene **$10$ cuadros**. **Comprobación:** - Suma total: $10 + 60 + 40 = 110$ (Correcto). - $40\%$ de $(10+60) = 0.4 \cdot 70 = 28$ (Correcto). - Doble de abstracto ($2 \cdot 60 = 120$) es igual a triple de grafiti ($3 \cdot 40 = 120$) (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 10 \text{ (Urbano)}, \quad y = 60 \text{ (Abstracto)}, \quad z = 40 \text{ (Grafiti)}}