Continuidad y estudio de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 0$? (0.5 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista la imagen de la función en el punto, $f(a)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con la imagen: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Calculamos la imagen en $x=0$ usando la primera rama: $$f(0) = |0 + 1| + t = 1 + t$$ Calculamos los límites laterales en $x=0$: - Por la izquierda ($x \le 0$): $$\lim_{x \to 0^-} (|x + 1| + t) = |1| + t = 1 + t$$ - Por la derecha ($x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} (-x^3 + 2x^2 + (t + 2)x + 3) = -0 + 0 + 0 + 3 = 3$$ Para que sea continua, igualamos ambos resultados: $$1 + t = 3 \implies t = 3 - 1 = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función a trozos sea continua, las ramas deben "engancharse" en el valor de la frontera. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2}$$

**b) Para $t = 2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(0,\infty)$. (0.5 puntos)** Si $t = 2$, en el intervalo $(0, \infty)$ la función viene definida por la segunda rama: $$f(x) = -x^3 + 2x^2 + (2 + 2)x + 3 = -x^3 + 2x^2 + 4x + 3$$ Para hallar los extremos relativos (máximos y mínimos), primero calculamos la primera derivada: $$f'(x) = -3x^2 + 4x + 4$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-3x^2 + 4x + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-3)(4)}}{2(-3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{-6} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{-6}$$ $$x = \frac{-4 \pm 8}{-6}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{-4 + 8}{-6} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$ 2. $x_2 = \frac{-4 - 8}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$ Como el enunciado nos pide estudiar el intervalo $(0, \infty)$, solo el valor **$x = 2$** pertenece a nuestro dominio de estudio. 💡 **Tip:** Un extremo relativo solo puede ocurrir donde la derivada es cero o no existe. Siempre verifica si el valor obtenido está dentro del intervalo pedido.

**c) Para $t = 2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(0,\infty)$. (0.5 puntos)** Utilizamos el punto crítico $x = 2$ para dividir el intervalo $(0, \infty)$ y estudiar el signo de $f'(x)$ en cada subintervalo: - En $(0, 2)$: Probamos con $x = 1 \implies f'(1) = -3(1)^2 + 4(1) + 4 = 5 \gt 0$. La función es **creciente**. - En $(2, \infty)$: Probamos con $x = 3 \implies f'(3) = -3(3)^2 + 4(3) + 4 = -27 + 12 + 4 = -11 \lt 0$. La función es **decreciente**. Representamos los resultados en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (0, 2) \quad \text{Decrecimiento: } (2, \infty)}$$

Para completar el apartado **b)**, determinamos las coordenadas del extremo relativo. Al pasar de crecimiento a decrecimiento en $x = 2$, tenemos un **máximo relativo**. Calculamos su coordenada $y$ sustituyendo en $f(x)$: $$f(2) = -(2)^3 + 2(2)^2 + 4(2) + 3$$ $$f(2) = -8 + 8 + 8 + 3 = 11$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las coordenadas de un punto se hallan siempre en la función original $f(x)$, no en la derivada. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en el punto } (2, 11)}$$