Cálculo de parámetros de una función cuadrática

Sabiendo que la función $f(x) = ax^2 + bx - 20$ tiene un máximo en el punto $(6, 16)$, esto implica dos condiciones fundamentales. La primera es que el punto pertenece a la gráfica de la función, por lo que debe cumplir que $f(6) = 16$. Sustituimos $x = 6$ en la expresión de la función e igualamos a $16$: $$f(6) = a(6)^2 + b(6) - 20 = 16$$ $$36a + 6b - 20 = 16$$ $$36a + 6b = 16 + 20$$ $$36a + 6b = 36$$ Para simplificar los cálculos, dividimos toda la ecuación entre $6$: $$\boxed{6a + b = 6}$$ 💡 **Tip:** Si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de $f$, siempre se cumple que $f(x_0) = y_0$.

La segunda condición viene dada por el hecho de que en el punto $(6, 16)$ hay un **máximo**. En los puntos donde hay un máximo o mínimo relativo (y la función es derivable), la pendiente de la recta tangente es nula, es decir, la derivada es igual a cero. Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = ax^2 + bx - 20$: $$f'(x) = 2ax + b$$ Como el máximo está en $x = 6$, planteamos la ecuación $f'(6) = 0$: $$2a(6) + b = 0$$ $$\boxed{12a + b = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria para la existencia de un extremo relativo en un punto derivable es que $f'(x) = 0$.

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ($a$ y $b$): $$\begin{cases} 6a + b = 6 \\ 12a + b = 0 \end{cases}$$ Podemos resolverlo fácilmente por el método de **reducción**, restando la primera ecuación a la segunda: $$(12a + b) - (6a + b) = 0 - 6$$ $$12a - 6a + b - b = -6$$ $$6a = -6$$ $$a = \frac{-6}{6} \implies \mathbf{a = -1}$$ Una vez obtenido el valor de $a$, sustituimos en la segunda ecuación para hallar $b$: $$12(-1) + b = 0$$ $$-12 + b = 0 \implies \mathbf{b = 12}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 12}$$

Aunque el enunciado pide hallar los parámetros, razonadamente debemos verificar que para estos valores el punto es efectivamente un máximo. Utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$f''(x) = (2ax + b)' = 2a$$ Sustituyendo $a = -1$: $$f''(x) = 2(-1) = -2$$ Como $f''(6) = -2 \lt 0$, la curvatura es cóncava hacia abajo (forma de $\cap$), lo que confirma que en $x = 6$ existe un **máximo relativo**. La función resultante es: $$\boxed{f(x) = -x^2 + 12x - 20}$$