Probabilidad condicionada y Teorema de la Probabilidad Total

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema basándonos en el enunciado: * $P$: Le gusta la **piña** en la pizza. * $\bar{P}$: No le gusta la piña en la pizza. * $A$: Le gustan las **anchoas** en la pizza. * $\bar{A}$: No le gustan las anchoas en la pizza. Extraemos los datos en términos de probabilidad: * $P(P) = 0.30$ (por tanto, $P(\bar{P}) = 1 - 0.30 = 0.70$) * $P(A|P) = 0.60$ (probabilidad de que le gusten las anchoas sabiendo que le gusta la piña) * $P(\bar{A}|\bar{P}) = 0.75$ (probabilidad de que no le gusten las anchoas sabiendo que no le gusta la piña) 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de un suceso y su contrario siempre es 1. Por eso, si a un $75 \%$ de los que no les gusta la piña no les gustan las anchoas, al $25 \%$ restante de ese grupo sí les gustan: $P(A|\bar{P}) = 1 - 0.75 = 0.25$.

Para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos, construimos un diagrama de árbol:

**a) Elegido un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le gusten las anchoas en la pizza? (0.75 puntos)** Para calcular la probabilidad de que a alguien le gusten las anchoas ($A$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de que le gusten las anchoas habiendo elegido piña y no habiéndola elegido: $$P(A) = P(P) \cdot P(A|P) + P(\bar{P}) \cdot P(A|\bar{P})$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(A) = (0.30 \cdot 0.60) + (0.70 \cdot 0.25)$$ $$P(A) = 0.18 + 0.175 = 0.355$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso depende de varios caminos posibles. En este caso, el camino de los que les gusta la piña y el de los que no. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.355}$$

**b) Si se sabe que a una persona no le gustan las anchoas en la pizza, ¿cuál es la probabilidad de que le guste la piña? (0.75 puntos)** Se nos pide calcular la probabilidad de que le guste la piña sabiendo que no le gustan las anchoas, es decir, la probabilidad condicionada $P(P|\bar{A})$. Utilizamos la fórmula de la **probabilidad condicionada** (o Teorema de Bayes): $$P(P|\bar{A}) = \frac{P(P \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$$ Primero calculamos $P(\bar{A})$, que es el suceso contrario a $P(A)$: $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.355 = 0.645$$ Ahora calculamos la intersección $P(P \cap \bar{A})$ usando el árbol: $$P(P \cap \bar{A}) = P(P) \cdot P(\bar{A}|P) = 0.30 \cdot 0.40 = 0.12$$ Finalmente, sustituimos en la fórmula: $$P(P|\bar{A}) = \frac{0.12}{0.645} \approx 0.1860$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "volver atrás" en el árbol: sabiendo el resultado final (no le gustan las anchoas), calculamos la probabilidad de que venga de una rama inicial específica (le gusta la piña). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P|\bar{A}) \approx 0.186}$$