Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del contenido calórico de los bizcochos con un nivel de confianza del $95 \%$. (1 punto)** Primero, extraemos los datos del enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 36$ - Media muestral: $\bar{x} = 223$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 51$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.95$, entonces $\alpha = 0.05$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$. Mirando la tabla proporcionada, para el valor $0.9750$ le corresponde la fila **1.9** y la columna **0.06**. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es aquel que deja un área de $1-\alpha$ en el centro de la distribución normal estándar.

La fórmula del error máximo admisible es $E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Sustituimos los valores: $$E = 1.96 \cdot \frac{51}{\sqrt{36}} = 1.96 \cdot \frac{51}{6} = 1.96 \cdot 8.5 = 16.66$$ El intervalo de confianza se define como $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (223 - 16.66, \; 223 + 16.66)$$ $$I.C. = (206.34, \; 239.66)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (206.34, \; 239.66)}$$

**b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con un nivel de confianza del $94.64 \%$, el error máximo admisible sea menor que $10$ calorías. (1 punto)** En este apartado, cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.9464$ - Error admisible: $E < 10$ - Desviación típica: $\sigma = 51$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.9464 \implies \alpha = 1 - 0.9464 = 0.0536$. 2. $\alpha/2 = 0.0536 / 2 = 0.0268$. 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0268 = 0.9732$. Buscamos el valor **0.9732** en la tabla: se encuentra en la fila **1.9** y en la columna **0.03**. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.93}$$

Usamos la fórmula del error despejando $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Queremos que $E < 10$, por tanto: $$n > \left( \frac{1.93 \cdot 51}{10} \right)^2$$ $$n > \left( \frac{98.43}{10} \right)^2 = (9.843)^2$$ $$n > 96.88$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza para asegurar que el error sea menor que el límite. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo, en tamaño muestral siempre redondeamos hacia el siguiente entero para garantizar que se cumple la restricción del error. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 97 \text{ bizcochos}}$$