Sistema de ecuaciones: Reparto de botellas de vino

**a) Plantea el sistema de ecuaciones para averiguar cuántas botellas de vino blanco, rosado y tinto se pidieron. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de botellas de vino blanco. - $y$: número de botellas de vino rosado. - $z$: número de botellas de vino tinto. Ahora, traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El pedido es de $50$ botellas en total: $$x + y + z = 50$$ 2. El doble de botellas de blanco ($2x$) excede en una unidad al de rosado ($y$): $$2x = y + 1 \implies 2x - y = 1$$ 3. El doble de botellas de blanco ($2x$) coincide con el quíntuplo de tinto ($5z$): $$2x = 5z \implies 2x - 5z = 0$$ 💡 **Tip:** La frase "A excede a B en C unidades" se traduce como $A = B + C$ o $A - B = C$. El sistema de ecuaciones lineales resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 50 \\ 2x - y = 1 \\ 2x - 5z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Para resolver el sistema, observamos que en las dos últimas ecuaciones podemos despejar fácilmente $y$ y $z$ en función de $x$ para aplicar el **método de sustitución**. De la segunda ecuación ($2x - y = 1$): $$y = 2x - 1$$ De la tercera ecuación ($2x - 5z = 0$): $$5z = 2x \implies z = \frac{2x}{5}$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es muy eficiente cuando una o varias variables se pueden despejar rápidamente en función de una sola (en este caso, todas en función de $x$).

Sustituimos las expresiones de $y$ y $z$ en la primera ecuación ($x + y + z = 50$): $$x + (2x - 1) + \frac{2x}{5} = 50$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por $5$: $$5x + 5(2x - 1) + 2x = 50 \cdot 5$$ $$5x + 10x - 5 + 2x = 250$$ Agrupamos los términos con $x$ y pasamos el término independiente al otro lado: $$17x = 250 + 5$$ $$17x = 255$$ Calculamos el valor de $x$: $$x = \frac{255}{17} = 15$$ $$\boxed{x = 15 \text{ botellas de vino blanco}}$$

Ahora que conocemos $x = 15$, sustituimos este valor en las expresiones que despejamos anteriormente para hallar $y$ y $z$. Para el vino rosado ($y$): $$y = 2(15) - 1 = 30 - 1 = 29$$ Para el vino tinto ($z$): $$z = \frac{2(15)}{5} = \frac{30}{5} = 6$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que la suma total sea correcta: $15 + 29 + 6 = 50$. Se cumple perfectamente.

Una vez resuelto el sistema, indicamos claramente la solución del problema según el contexto: Se pidieron: - **$15$ botellas de vino blanco.** - **$29$ botellas de vino rosado.** - **$6$ botellas de vino tinto.** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 15, \quad y = 29, \quad z = 6}$$