Operaciones con matrices, conmutatividad y ecuaciones matriciales

**a) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$ y $P = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ demuestra que $M$ y $N$ conmutan. (0.5 puntos)** Dos matrices $M$ y $N$ conmutan si se cumple que $M \cdot N = N \cdot M$. Vamos a realizar ambos productos paso a paso. Calculamos $M \cdot N$: $$M \cdot N = \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(-2) + 9(1) & 4(9) + 9(-4) \\ 1(-2) + 2(1) & 1(9) + 2(-4) \end{pmatrix}$$ $$M \cdot N = \begin{pmatrix} -8 + 9 & 36 - 36 \\ -2 + 2 & 9 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Calculamos $N \cdot M$: $$N \cdot M = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(4) + 9(1) & -2(9) + 9(2) \\ 1(4) - 4(1) & 1(9) - 4(2) \end{pmatrix}$$ $$N \cdot M = \begin{pmatrix} -8 + 9 & -18 + 18 \\ 4 - 4 & 9 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $M \cdot N = N \cdot M = I$, las matrices **conmutan**. Además, esto nos indica que $N$ es la matriz inversa de $M$ ($N = M^{-1}$). 💡 **Tip:** En general, el producto de matrices no es conmutativo. Si el resultado es la identidad $I$, significa que una es la inversa de la otra.

**b) Resuelve la ecuación $M \cdot P \cdot X = N^T - M$. (1 punto)** Primero, despejamos la matriz $X$. Para ello, multiplicamos por la izquierda por las matrices inversas correspondientes en el orden correcto: $$M \cdot P \cdot X = N^T - M$$ $$M^{-1} \cdot (M \cdot P \cdot X) = M^{-1} \cdot (N^T - M)$$ $$P \cdot X = M^{-1} \cdot (N^T - M)$$ $$P^{-1} \cdot (P \cdot X) = P^{-1} \cdot M^{-1} \cdot (N^T - M)$$ $$X = P^{-1} \cdot M^{-1} \cdot (N^T - M)$$ Del apartado anterior, sabemos que $M^{-1} = N$. Por lo tanto, la ecuación queda: $$X = P^{-1} \cdot N \cdot (N^T - M)$$ 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden es crucial. Si multiplicas por la izquierda en un lado del igual, debes multiplicar por la izquierda en el otro.

Calculamos primero la transpuesta de $N$ y la resta: $$N^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 9 & -4 \end{pmatrix}$$ $$N^T - M = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 9 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 9 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -8 \\ 8 & -6 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $M^{-1}(N^T - M) = N(N^T - M)$: $$N(N^T - M) = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -6 & -8 \\ 8 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-6) + 9(8) & (-2)(-8) + 9(-6) \\ 1(-6) + (-4)(8) & 1(-8) + (-4)(-6) \end{pmatrix}$$ $$N(N^T - M) = \begin{pmatrix} 12 + 72 & 16 - 54 \\ -6 - 32 & -8 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 84 & -38 \\ -38 & 16 \end{pmatrix}$$

Para hallar $P^{-1}$, usamos la fórmula $P^{-1} = \frac{1}{|P|} \cdot \text{Adj}(P)^T$. 1. Calculamos el determinante: $$|P| = \begin{vmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (6)(1) - (-3)(-3) = 6 - 9 = -3$$ 2. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(P)$: $$\text{Adj}(P) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$ 3. La transpuesta de la adjunta es la misma en este caso (matriz simétrica): $$\text{Adj}(P)^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$ 4. Calculamos $P^{-1}$: $$P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = P^{-1} \cdot [N(N^T - M)]$: $$X = \begin{pmatrix} -1/3 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 84 & -38 \\ -38 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28 + 38 & 38/3 - 16 \\ -84 + 76 & 38 - 32 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones con fracciones: $$38/3 - 16 = 38/3 - 48/3 = -10/3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 10 & -10/3 \\ -8 & 6 \end{pmatrix}}$$

**c) Calcula la matriz que sumada con la matriz $(N + I)^2$ da como resultado la matriz nula, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (0.5 puntos)** Sea $A$ la matriz que buscamos, la ecuación es $(N + I)^2 + A = \mathbf{0}$, lo que implica que $A = -(N + I)^2$. Primero calculamos $N + I$: $$N + I = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el cuadrado $(N + I)^2$: $$(N + I)^2 = \begin{pmatrix} -1 & 9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 9 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + 9(1) & (-1)(9) + 9(-3) \\ 1(-1) + (-3)(1) & 1(9) + (-3)(-3) \end{pmatrix}$$ $$(N + I)^2 = \begin{pmatrix} 1 + 9 & -9 - 27 \\ -1 - 3 & 9 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -36 \\ -4 & 18 \end{pmatrix}$$ La matriz buscada es el opuesto de este resultado: $$A = - \begin{pmatrix} 10 & -36 \\ -4 & 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 36 \\ 4 & -18 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} -10 & 36 \\ 4 & -18 \end{pmatrix}}$$