Probabilidad de retraso y defectos en repartos

**a) Elegido un paquete al azar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue defectuoso y con retraso? (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema y traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: - $R$: "El paquete llega con retraso". - $D$: "El paquete llega defectuoso". Los datos proporcionados por el enunciado son: - Probabilidad de retraso: $P(R) = 9 \% = 0.09$ - Probabilidad de defectuoso: $P(D) = 14 \% = 0.14$ - Probabilidad de retraso o defectuoso (unión): $P(R \cup D) = 19 \% = 0.19$ Se nos pide calcular la probabilidad de que ocurran ambas cosas a la vez, es decir, la intersección: $P(D \cap R)$.

Para hallar la probabilidad de la intersección utilizamos la propiedad fundamental de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(R \cup D) = P(R) + P(D) - P(R \cap D)$$ Sustituimos los valores conocidos en la fórmula: $$0.19 = 0.09 + 0.14 - P(R \cap D)$$ Despejamos $P(R \cap D)$: $$P(R \cap D) = 0.09 + 0.14 - 0.19$$ $$P(R \cap D) = 0.23 - 0.19 = 0.04$$ La probabilidad de que un paquete llegue con retraso y defectuoso es del $4 \%$. 💡 **Tip:** Recuerda que la intersección representa la ocurrencia simultánea de ambos eventos ("y"), mientras que la unión representa que ocurre al menos uno de ellos ("o"). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D \cap R) = 0.04}$$

Para visualizar mejor todos los posibles escenarios, podemos construir una tabla de contingencia con los datos obtenidos. Esto nos ayudará también a resolver el siguiente apartado: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Retraso } (R) & \text{No Retraso } (\overline{R}) & \text{Total} \\ \hline \text{Defectuoso } (D) & \mathbf{0.04} & 0.10 & 0.14 \\ \text{No Defectuoso } (\overline{D}) & 0.05 & 0.81 & 0.86 \\ \hline \text{Total} & 0.09 & 0.91 & 1.00 \end{array}$$ - El valor $0.10$ se obtiene restando $0.14 - 0.04$. - El valor $0.05$ se obtiene restando $0.09 - 0.04$. - El valor $0.81$ se obtiene restando $0.91 - 0.10$ o $0.86 - 0.05$.

**b) Si se sabe que un paquete llega con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que llegue defectuoso? (0.75 puntos)** Se trata de una probabilidad condicionada, ya que sabemos de antemano que el paquete ha llegado con retraso (suceso $R$). Debemos calcular $P(D|R)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(D|R) = \frac{P(D \cap R)}{P(R)}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: $$P(D|R) = \frac{0.04}{0.09}$$ Simplificamos la fracción: $$P(D|R) = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ 💡 **Tip:** En la probabilidad condicionada $P(A|B)$, el suceso $B$ es la información que ya conocemos, y funciona como el "nuevo universo" o denominador de nuestra probabilidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|R) = \frac{4}{9} \approx 0.4444}$$