Probabilidad y Estadística 2023 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Media poblacional y error máximo
6. La distancia alcanzada en el lanzamiento de jabalina por los integrantes de un equipo de atletismo infantil sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 81$ metros$^2$. Se ha tomado una muestra de $9$ atletas del equipo y las distancias alcanzadas han sido $16, 21, 15, 17, 16, 19, 14, 14$ y $19$ metros.
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la distancia de lanzamiento de jabalina con un nivel de confianza del $97 \%$. (1 punto)
b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)
c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño $49$ atletas y un nivel de confianza del $95.96 \%$? (0.5 puntos)
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
Paso 1
Identificación de los parámetros de la distribución
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la distancia de lanzamiento de jabalina con un nivel de confianza del $97 \%$. (1 punto)**
Primero, definimos la variable $X$ como la distancia alcanzada en el lanzamiento de jabalina. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal:
$$X \sim N(\mu, \sigma)$$
Se nos da la varianza $\sigma^2 = 81$, por lo que la desviación típica es:
$$\sigma = \sqrt{81} = 9 \text{ m}$$
Contamos con una muestra de tamaño $n = 9$ atletas. Calculamos la media muestral $\bar{x}$ sumando los datos y dividiendo por $n$:
$$\bar{x} = \frac{16 + 21 + 15 + 17 + 16 + 19 + 14 + 14 + 19}{9} = \frac{151}{9} \approx 16.78 \text{ m}$$
💡 **Tip:** No confundas la varianza ($\sigma^2$) con la desviación típica ($\sigma$). En las fórmulas de inferencia siempre utilizaremos $\sigma$.
Paso 2
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $97 \%$
Para un nivel de confianza del $97 \%$, tenemos:
$$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.9850$$
Consultando la tabla de la normal $N(0, 1)$ proporcionada, buscamos el valor $0.9850$:
- En la fila **2.1** y columna **0.07**, encontramos exactamente el valor $0.9850$.
Por lo tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$
Paso 3
Determinación del intervalo de confianza
El error máximo admisible $E$ se calcula con la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$E = 2.17 \cdot \frac{9}{\sqrt{9}} = 2.17 \cdot \frac{9}{3} = 2.17 \cdot 3 = 6.51$$
El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (16.78 - 6.51, \; 16.78 + 6.51) = (10.27, \; 23.29)$$
💡 **Tip:** El intervalo siempre se centra en la media muestral. Sumamos y restamos el error para obtener los límites.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I.C. = (10.27, \; 23.29)}$$
Paso 4
Justificación de la amplitud del intervalo
**b) Explica, justificando la respuesta, qué se podría hacer para conseguir un intervalo de confianza con mayor amplitud para el mismo nivel de confianza. (0.5 puntos)**
La amplitud (longitud) de un intervalo de confianza es el doble del error:
$$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Si mantenemos el mismo nivel de confianza, el valor $z_{\alpha/2}$ no varía. Como la desviación típica poblacional $\sigma$ es una constante del problema, la única forma de modificar la amplitud es variando el tamaño de la muestra $n$.
Para que la amplitud $A$ sea **mayor**, necesitamos que el denominador $\sqrt{n}$ sea **menor**. Por lo tanto, se debe **disminuir el tamaño de la muestra ($n$)**.
💡 **Tip:** A menor tamaño de muestra, menos información tenemos y, por tanto, el intervalo debe ser más ancho para mantener la misma confianza.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Se debería disminuir el tamaño de la muestra } n}$$
Paso 5
Cálculo del error para nuevos parámetros
**c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño $49$ atletas y un nivel de confianza del $95.96 \%$? (0.5 puntos)**
Datos actualizados:
- $n = 49 \implies \sqrt{n} = 7$
- $\sigma = 9$
- Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.9596$
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
$$\alpha = 1 - 0.9596 = 0.0404 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.0202$$
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0202 = 0.9798$$
Buscamos $0.9798$ en la tabla:
- En la fila **2.0** y columna **0.05**, encontramos el valor $0.9798$.
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$
Calculamos el error:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{9}{\sqrt{49}} = 2.05 \cdot \frac{9}{7} \approx 2.05 \cdot 1.2857 \approx 2.6357$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{E \approx 2.64 \text{ metros}}$$