Continuidad y representación de una función definida a trozos

**a) ¿Para qué valor de $c$ la función $f(x)$ es continua en $x = c$? (0.75 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x = c$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: 1. $\lim_{x \to c^-} f(x)$ 2. $\lim_{x \to c^+} f(x)$ 3. $f(c)$ Calculamos cada valor utilizando las ramas de nuestra función: - Límite por la izquierda ($x \le c$): $$\lim_{x \to c^-} f(x) = (c + 2)^2$$ - Límite por la derecha ($x \gt c$): $$\lim_{x \to c^+} f(x) = 6c + 3$$ - Valor de la función: $$f(c) = (c + 2)^2$$ Igualamos ambos límites para que no haya un salto entre las ramas: $$(c + 2)^2 = 6c + 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista continuidad, el límite debe ser finito y coincidir con el valor de la función. En funciones a trozos, el punto de división es donde solemos encontrar discontinuidades.

Desarrollamos la identidad notable $(c + 2)^2$ y resolvemos la ecuación de segundo grado: $$c^2 + 4c + 4 = 6c + 3$$ Trasladamos todos los términos a un lado para igualar a cero: $$c^2 + 4c - 6c + 4 - 3 = 0$$ $$c^2 - 2c + 1 = 0$$ Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto: $(c - 1)^2 = 0$. Si lo resolvemos mediante la fórmula general: $$c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1$$ Por tanto, el único valor que hace la función continua es $c = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c = 1}$$

**b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $c = 0$. (0.75 puntos)** Si sustituimos $c = 0$, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 & \text{si } x \le 0 \\ 6x + 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Para representarla, analizamos cada rama por separado: 1. **Rama 1: $f(x) = (x + 2)^2$ para $x \le 0$** - Es una parábola con vértice en $(-2, 0)$. - En el borde del intervalo ($x = 0$), vale $f(0) = (0 + 2)^2 = 4$. El punto es **$(0, 4)$** (incluido). - Puntos auxiliares: si $x = -1$, $f(-1) = 1$; si $x = -3$, $f(-3) = 1$. 2. **Rama 2: $f(x) = 6x + 3$ para $x > 0$** - Es una recta con pendiente 6 y ordenada en el origen 3. - Cerca del borde ($x \to 0^+$), tiende a $6(0) + 3 = 3$. El punto es **$(0, 3)$** (no incluido, círculo abierto). - Puntos auxiliares: si $x = 1$, $f(1) = 9$. Existe un salto finito en $x = 0$ (pasa de $y=4$ a $y=3$). 💡 **Tip:** Al dibujar funciones a trozos, presta atención a si el punto final de una rama está incluido (punto relleno) o no (punto vacío) según los símbolos $\le$ o $\lt$.

A continuación se muestra la gráfica de la función. Se observa la parábola a la izquierda del eje de ordenadas y la recta a la derecha, con el salto correspondiente en $x=0$.