Estudio del consumo de agua mediante una función cúbica

**a) ¿En qué momentos se produjo el mayor consumo y a cuánto ascendió? (1.25 puntos)** Para encontrar los máximos de la función de consumo $C(x) = x^3 - 12x^2 + 45x$ en el intervalo cerrado $[0, 6]$, primero debemos calcular su derivada para hallar los puntos críticos. Derivamos la función aplicando la regla de la potencia: $$C'(x) = 3x^2 - 24x + 45$$ 💡 **Tip:** Para optimizar una función en un intervalo cerrado, debemos comprobar tanto los puntos donde la derivada es cero como los extremos del intervalo ($x=0$ y $x=6$).

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los valores de $x$ que podrían ser máximos o mínimos: $$3x^2 - 24x + 45 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por $3$: $$x^2 - 8x + 15 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2}$$ $$x = \frac{8 \pm 2}{2} \implies x_1 = 5, \quad x_2 = 3$$ Ambos valores, **$x=3$** y **$x=5$**, se encuentran dentro del dominio de estudio $[0, 6]$.

Calculamos el valor del consumo $C(x)$ en los extremos del intervalo y en los puntos críticos hallados: 1. En **$x = 0$** (inicio): $$C(0) = 0^3 - 12(0)^2 + 45(0) = 0 \text{ dm}^3$$ 2. En **$x = 3$**: $$C(3) = 3^3 - 12(3^2) + 45(3) = 27 - 108 + 135 = 54 \text{ dm}^3$$ 3. En **$x = 5$**: $$C(5) = 5^3 - 12(5^2) + 45(5) = 125 - 300 + 225 = 50 \text{ dm}^3$$ 4. En **$x = 6$** (final): $$C(6) = 6^3 - 12(6^2) + 45(6) = 216 - 432 + 270 = 54 \text{ dm}^3$$ Comparando los resultados, vemos que el valor máximo es $54 \text{ dm}^3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El consumo máximo fue de } 54 \text{ dm}^3 \text{ y se produjo a las } 3 \text{ horas y a las } 6 \text{ horas.}}$$

**b) ¿En qué intervalo de tiempo disminuyó el consumo de agua? (0.75 puntos)** El consumo disminuye en los intervalos donde la primera derivada es negativa ($C'(x) \lt 0$). Utilizamos los puntos críticos hallados anteriormente ($x=3$ y $x=5$) para dividir el dominio $[0, 6]$ en intervalos y estudiar el signo de $C'(x) = 3(x-3)(x-5)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,3) & 3 & (3,5) & 5 & (5,6) \\\hline C'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline \text{Consumo} & \text{Creciente} & \text{Máx} & \text{Decreciente} & \text{Mín} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En el intervalo $(3, 5)$, si tomamos $x=4$: $C'(4) = 3(4-3)(4-5) = 3(1)(-1) = -3 \lt 0$. 💡 **Tip:** Una función es decreciente en un intervalo si su derivada es negativa en dicho intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El consumo de agua disminuyó en el intervalo de tiempo } (3, 5) \text{ horas.}}$$