Programación lineal: Optimización de una función objetivo

**a) Dibuja la región factible y determina sus vértices. (1.25 puntos)** Para dibujar la región factible, transformamos cada desigualdad en una recta y determinamos el semiplano correspondiente: 1. **$x - y \ge 0$**: La recta frontera es $y = x$. Probando un punto como $(1, 0)$, vemos que $1 - 0 \ge 0$ es cierto, por lo que la región es el semiplano por debajo de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. 2. **$-4 \le x \le 4$**: Es la franja vertical comprendida entre las rectas $x = -4$ y $x = 4$. 3. **$-1 \le y \le 1$**: Es la franja horizontal comprendida entre las rectas $y = -1$ y $y = 1$. La intersección de estas condiciones define un polígono. Notemos que, dado que $y \ge -1$ y $x \ge y$, entonces necesariamente $x \ge -1$. Esto significa que la restricción $x \ge -4$ no limita la región factible en este caso (es redundante). 💡 **Tip:** Para representar una inecuación, dibuja primero la recta igualando los términos y luego elige un punto de prueba (que no esté en la recta) para saber qué lado sombrear.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que limitan la región: * **Vértice $A$**: Intersección de $y = x$ y $y = 1$. Sustituyendo, $x = 1$. $\implies \mathbf{A(1, 1)}$ * **Vértice $B$**: Intersección de $x = 4$ y $y = 1$. $\implies \mathbf{B(4, 1)}$ * **Vértice $C$**: Intersección de $x = 4$ y $y = -1$. $\implies \mathbf{C(4, -1)}$ * **Vértice $D$**: Intersección de $y = x$ y $y = -1$. Sustituyendo, $x = -1$. $\implies \mathbf{D(-1, -1)}$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(1, 1), \quad B(4, 1), \quad C(4, -1), \quad D(-1, -1)}$$

**b) Indica los puntos óptimos (máximo y mínimo) y sus respectivos valores. (0.25 puntos)** Para optimizar la función $f(x, y) = -x - 5y + 10$, evaluamos su valor en cada uno de los vértices hallados: $$ \begin{array}{c|c|c} \text{Vértice} (x, y) & f(x, y) = -x - 5y + 10 & \text{Valor} \\ \hline A(1, 1) & -(1) - 5(1) + 10 = -1 - 5 + 10 & 4 \\ B(4, 1) & -(4) - 5(1) + 10 = -4 - 5 + 10 & 1 \\ C(4, -1) & -(4) - 5(-1) + 10 = -4 + 5 + 10 & 11 \\ D(-1, -1) & -(-1) - 5(-1) + 10 = 1 + 5 + 10 & 16 \end{array} $$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el máximo y el mínimo de una función objetivo en una región factible acotada se encuentran en sus vértices.

Comparando los valores obtenidos: * El valor más alto es $16$, que se alcanza en el punto $D(-1, -1)$. * El valor más bajo es $1$, que se alcanza en el punto $B(4, 1)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 16 \text{ en } (-1, -1) \quad \text{Mínimo: } 1 \text{ en } (4, 1)}$$