Ventas de la discografía de un grupo de rock

**a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular qué cantidad de unidades de cada disco se vendieron. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas del problema de forma clara: - $x$: número de unidades vendidas del disco I. - $y$: número de unidades vendidas del disco II. - $z$: número de unidades vendidas del disco III. Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico: 1. "Las ventas totales ascienden a $70000$ unidades": $$x + y + z = 70000$$ 2. "Del disco III se vendieron las mismas unidades que entre los otros dos juntos": $$z = x + y \implies x + y - z = 0$$ 3. "La diferencia entre las unidades del III y las del II equivalen al triple de la diferencia entre las del II y las del I": $$(z - y) = 3(y - x)$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, es fundamental asignar una letra a cada cantidad desconocida y leer frase a frase para extraer las ecuaciones. El sistema de ecuaciones planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 70000 \\ x + y - z = 0 \\ 3x - 4y + z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Antes de resolver, simplificamos la tercera ecuación para que tenga la forma estándar $Ax + By + Cz = D$: $$(z - y) = 3(y - x)$$ $$z - y = 3y - 3x$$ Pasamos todo al lado izquierdo: $$3x - y - 3y + z = 0 \implies 3x - 4y + z = 0$$ Ahora tenemos el sistema listo para resolver: $$\begin{cases} (1) \quad x + y + z = 70000 \\ (2) \quad x + y - z = 0 \\ (3) \quad 3x - 4y + z = 0 \end{cases}$$

Podemos observar que las ecuaciones (1) y (2) son muy parecidas. Si las restamos, eliminaremos $x$ e $y$ directamente para hallar $z$. Restamos (1) menos (2): $$(x + y + z) - (x + y - z) = 70000 - 0$$ $$x + y + z - x - y + z = 70000$$ $$2z = 70000$$ $$z = \frac{70000}{2} = 35000$$ Ya sabemos que del **disco III se vendieron $35000$ unidades**. 💡 **Tip:** En sistemas donde dos ecuaciones solo se diferencian en el signo de una incógnita, la reducción suele ser el camino más rápido.

Sustituimos el valor $z = 35000$ en las ecuaciones (2) y (3) para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: De la ecuación (2): $$x + y - 35000 = 0 \implies x + y = 35000$$ De la ecuación (3): $$3x - 4y + 35000 = 0 \implies 3x - 4y = -35000$$ Despejamos $x$ de la primera ecuación reducida: $$x = 35000 - y$$ Sustituimos en la segunda: $$3(35000 - y) - 4y = -35000$$ $$105000 - 3y - 4y = -35000$$ $$-7y = -35000 - 105000$$ $$-7y = -140000$$ $$y = \frac{-140000}{-7} = 20000$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = 35000 - 20000 = 15000$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 15000, \quad y = 20000, \quad z = 35000}$$