Continuidad y optimización de una función a trozos

**a) ¿Para qué valor de $t$ la función $f(x)$ es continua en $x = 1$? (0.5 puntos)** Para que una función sea continua en un punto $x=a$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en dicho punto: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. Calculamos los límites laterales en $x = 1$: 1. **Límite por la izquierda ($x \le 1$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x^2 + tx - 1) = 2(1)^2 + t(1) - 1 = 2 + t - 1 = 1 + t$$ 2. **Límite por la derecha ($x > 1$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + t) = 1 + t$$ 3. **Valor de la función en el punto:** $$f(1) = 2(1)^2 + t(1) - 1 = 1 + t$$ Como los tres valores coinciden para cualquier valor de $t$, es decir, $1 + t = 1 + t$ es una identidad, la función siempre es continua en ese punto. 💡 **Tip:** Recuerda que en funciones a trozos, la continuidad suele depender de que las ramas "encajen" en el valor de salto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en } x=1 \text{ para cualquier valor } t \in \mathbb{R}}$$

**b) Para $t = 2$, calcula los extremos relativos de la función $f(x)$ en el intervalo $(-\infty, 1)$. (0.5 puntos)** Si $t=2$, la función en el intervalo $(-\infty, 1]$ es $f(x) = 2x^2 + 2x - 1$. Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(x) = 4x + 2$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$4x + 2 = 0 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{2}{4} = -0.5$$ Como $x = -0.5$ pertenece al intervalo $(-\infty, 1)$, es un posible extremo. Usamos la segunda derivada para clasificarlo: $$f''(x) = 4$$ Como $f''(-0.5) = 4 \gt 0$, se trata de un **mínimo relativo**. Calculamos la ordenada del punto: $$f(-0.5) = 2(-0.5)^2 + 2(-0.5) - 1 = 2(0.25) - 1 - 1 = 0.5 - 2 = -1.5$$ 💡 **Tip:** Si $f''(a) \gt 0$ el punto es un mínimo, y si $f''(a) \lt 0$ es un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (-0.5, -1.5)}$$

**c) Para $t = 2$, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ en $(-\infty, 1)$. (0.5 puntos)** Estudiamos el signo de la derivada $f'(x) = 4x + 2$ en el intervalo solicitado. El punto de corte con el eje es $x = -0.5$. Dividimos el intervalo $(-\infty, 1)$ en dos partes: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -0.5) & -0.5 & (-0.5, 1)\\\hline f'(x) & - & 0 & +\\\hline f(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -0.5)$, tomamos por ejemplo $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1) + 2 = -2 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(-0.5, 1)$, tomamos por ejemplo $x = 0$: $f'(0) = 4(0) + 2 = 2 \gt 0$ (**Creciente**). 💡 **Tip:** Una función crece donde su derivada es positiva y decrece donde su derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Decreciente: } (-\infty, -0.5) \\ & \text{Creciente: } (-0.5, 1) \end{aligned}}$$

A continuación se presenta la gráfica de la función para $t=2$ donde se puede observar la continuidad en $x=1$ y el mínimo relativo hallado.