Cálculo de parámetros en función polinómica

**2. La función $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$ tiene un punto de inflexión en $(2, -5)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es $-12$. Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a, b, y c$. (1.5 puntos)** Para resolver este ejercicio, debemos traducir la información del enunciado en ecuaciones matemáticas. Disponemos de tres datos sobre la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$: 1. **El punto $(2, -5)$ pertenece a la gráfica:** Esto significa que $f(2) = -5$. 2. **Hay un punto de inflexión en $x = 2$:** En los puntos de inflexión de funciones polinómicas, la segunda derivada se anula, es decir, $f''(2) = 0$. 3. **La pendiente de la recta tangente en $x = 2$ es $-12$:** La pendiente de la tangente en un punto coincide con el valor de la primera derivada en ese punto, por lo que $f'(2) = -12$. Calculamos primero las derivadas de la función: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una función $f(x)$, $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente en $x=a$, y si existe un punto de inflexión en $x=a$, entonces $f''(a)=0$.

Utilizamos la condición de punto de inflexión $f''(2) = 0$ para encontrar una relación entre $a$ y $b$. Sustituimos $x = 2$ en la expresión de la segunda derivada: $$f''(2) = 6a(2) + 2b = 0$$ $$12a + 2b = 0$$ Podemos simplificar esta ecuación dividiendo entre $2$: $$6a + b = 0 \implies b = -6a$$ 💡 **Tip:** Despejar una variable en función de otra al principio suele facilitar la resolución del sistema de ecuaciones resultante.

Utilizamos la condición de la pendiente $f'(2) = -12$ junto con la relación obtenida en el paso anterior. Sustituimos $x = 2$ en la primera derivada: $$f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) = -12$$ $$3a(4) + 4b = -12$$ $$12a + 4b = -12$$ Ahora, sustituimos $b = -6a$ en esta ecuación: $$12a + 4(-6a) = -12$$ $$12a - 24a = -12$$ $$-12a = -12$$ Despejamos $a$: $$\boxed{a = 1}$$ Ahora calculamos $b$ usando la relación $b = -6a$: $$b = -6(1) \implies \boxed{b = -6}$$

Finalmente, utilizamos la condición de que el punto $(2, -5)$ pertenece a la función, es decir, $f(2) = -5$. Sustituimos $x = 2, a = 1$ y $b = -6$ en la función original: $$f(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c = -5$$ $$1(8) + (-6)(4) + c = -5$$ $$8 - 24 + c = -5$$ $$-16 + c = -5$$ Despejamos $c$: $$c = -5 + 16$$ $$\boxed{c = 11}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de sustituir todos los parámetros conocidos en la ecuación del punto inicial para hallar el término independiente.

Los valores de los parámetros que cumplen las condiciones dadas son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -6, \quad c = 11}$$ La función resultante es $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11$.