Probabilidad y Estadística 2023 Castilla la Mancha
Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral
Una asociación benéfica ha tomado una muestra de $9$ personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo $60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45$ y $30$ euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100$ euros$^2$,
a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del dinero donado con un nivel de confianza del $97 \%$. (1 punto)
b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que $2$ euros. (1 punto)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
z & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\ \hline
2.0 & 0.9772 & 0.9778 & 0.9783 & 0.9788 & 0.9793 & 0.9798 & 0.9803 & 0.9808 & 0.9812 & 0.9817 \\ \hline
2.1 & 0.9821 & 0.9826 & 0.9830 & 0.9834 & 0.9838 & 0.9842 & 0.9846 & 0.9850 & 0.9854 & 0.9857 \\ \hline
\end{array}$$
Paso 1
Cálculo de la media muestral
**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del dinero donado con un nivel de confianza del $97 \%$. (1 punto)**
Primero, calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) sumando todas las donaciones y dividiendo por el número total de personas ($n=9$):
$$\bar{x} = \frac{60 + 40 + 55 + 35 + 20 + 25 + 50 + 45 + 30}{9}$$
$$\bar{x} = \frac{360}{9} = 40$$
💡 **Tip:** La media muestral es el estimador puntual de la media poblacional y es el centro de nuestro intervalo de confianza.
Paso 2
Identificación de los parámetros de la distribución
Para construir el intervalo de confianza para la media, identificamos los datos conocidos:
- Tamaño de la muestra: $n = 9$
- Varianza poblacional: $\sigma^2 = 100 \implies$ Desviación típica: $\sigma = \sqrt{100} = 10$ euros.
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,97$.
La variable "dinero donado" sigue una normal $N(\mu, \sigma)$. El intervalo de confianza se define como:
$$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Paso 3
Cálculo del valor crítico $z_{\alpha/2}$
Calculamos el valor crítico correspondiente al $97\%$ de confianza:
1. Si $1 - \alpha = 0,97$, entonces $\alpha = 0,03$.
2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0,015$.
3. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,9850$.
Consultando la tabla proporcionada:
Buscamos el valor $0,9850$ en el cuerpo de la tabla. Vemos que corresponde a la fila **$2.1$** y la columna **$0.07$**.
Por tanto:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,17}$$
💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.
Paso 4
Cálculo del error y del intervalo de confianza
Calculamos el error máximo admisible ($E$):
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,17 \cdot \frac{10}{\sqrt{9}} = 2,17 \cdot \frac{10}{3} = 2,17 \cdot 3,333... \approx 7,233$$
Ahora construimos el intervalo:
$$I.C. = (40 - 7,233, \; 40 + 7,233)$$
$$I.C. = (32,767, \; 47,233)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{I.C. = (32,77, \; 47,23) \text{ euros}}$$
Paso 5
Planteamiento para el tamaño de la muestra
**b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que $2$ euros. (1 punto)**
El error máximo admisible viene dado por la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
Queremos que $E < 2$. Como el nivel de confianza es el mismo, seguimos usando $z_{\alpha/2} = 2,17$ y $\sigma = 10$. Planteamos la inecuación para despejar $n$:
$$2,17 \cdot \frac{10}{\sqrt{n}} < 2$$
💡 **Tip:** En estos problemas, siempre debemos despejar $n$ y, al final, redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea realmente menor al límite.
Paso 6
Cálculo del tamaño mínimo de la muestra
Despejamos $\sqrt{n}$ de la inecuación:
$$\frac{21,7}{\sqrt{n}} < 2 \implies \frac{21,7}{2} < \sqrt{n} \implies 10,85 < \sqrt{n}$$
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
$$n > (10,85)^2$$
$$n > 117,7225$$
Como $n$ debe ser un número entero de personas, el primer número natural que cumple la condición es $118$.
✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):**
$$\boxed{n = 118 \text{ personas}}$$