Reparto de entradas de teatro

**a) Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cómo se han repartido las entradas entre adultos, jubilados y niños. (0.75 puntos)** En primer lugar, definimos las incógnitas que representarán el número de entradas vendidas para cada grupo: - $x$: número de entradas vendidas para **adultos**. - $y$: número de entradas vendidas para **jubilados**. - $z$: número de entradas vendidas para **niños**. Ahora, traducimos el lenguaje enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total de entradas vendidas es $660$: $$x + y + z = 660$$ 2. Las entradas para jubilados ($y$) son la cuarta parte de las de adultos ($x$): $$y = \frac{x}{4} \implies x = 4y \implies x - 4y = 0$$ 3. Las entradas para niños ($z$) equivalen al $10 \%$ de la suma de adultos ($x$) y jubilados ($y$): $$z = 0,10(x + y) \implies z = \frac{1}{10}(x + y) \implies 10z = x + y \implies x + y - 10z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de sistemas, es muy útil que todas las ecuaciones tengan las variables en el mismo orden ($x, y, z$) y el término independiente a la derecha. ✅ **Sistema planteado:** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 660 \\ x - 4y = 0 \\ x + y - 10z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resuelve razonadamente el sistema planteado en el apartado anterior. (0.75 puntos)** Tenemos el sistema: $$\begin{cases} (1) \quad x + y + z = 660 \\ (2) \quad x = 4y \\ (3) \quad x + y - 10z = 0 \end{cases}$$ Utilizaremos el **método de sustitución**, ya que en la ecuación (2) tenemos $x$ despejada de forma muy sencilla. Sustituimos $x = 4y$ en las ecuaciones (1) y (3): En (1): $(4y) + y + z = 660 \implies 5y + z = 660$ En (3): $(4y) + y - 10z = 0 \implies 5y - 10z = 0$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y, z$): $$\begin{cases} (1') \quad 5y + z = 660 \\ (3') \quad 5y = 10z \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Observa que en la ecuación (3'), podemos simplificar dividiendo entre 5 para obtener $y$ en función de $z$: $y = 2z$.

Sustituimos $y = 2z$ en la ecuación $(1')$: $$5(2z) + z = 660$$ $$10z + z = 660$$ $$11z = 660$$ $$z = \frac{660}{11} = 60$$ Ahora calculamos el valor de $y$ utilizando $y = 2z$: $$y = 2 \cdot 60 = 120$$ Finalmente, calculamos el valor de $x$ utilizando $x = 4y$: $$x = 4 \cdot 120 = 480$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que la suma de los resultados parciales coincide con el total del enunciado ($480 + 120 + 60 = 660$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Adultos: } 480 \text{ entradas} \\ &\text{Jubilados: } 120 \text{ entradas} \\ &\text{Niños: } 60 \text{ entradas} \end{aligned}}$$