Operaciones con matrices y compatibilidad de dimensiones

**a) Calcula $A \cdot B \cdot C^T$ (0.75 puntos)** Primero, calculamos el producto $A \cdot B$. Para multiplicar dos matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda. $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ Realizamos las operaciones elemento a elemento: - Fila 1: $(1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1) = -1 + 0 + 3 = 2$ $(1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1) = 0 - 2 + 3 = 1$ $(1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0) = 1 - 2 + 0 = -1$ - Fila 2: $(0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1) = 0 + 0 + 2 = 2$ $(0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1) = 0 - 1 + 2 = 1$ $(0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0) = 0 - 1 + 0 = -1$ - Fila 3: $(0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1) = 0 + 0 + 1 = 1$ $(0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = 0 + 0 + 1 = 1$ $(0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$ $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Ahora calculamos la traspuesta de la matriz fila $C = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$, que se convierte en una matriz columna: $$C^T = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, multiplicamos $(A \cdot B)$ por $C^T$: $$(A \cdot B) \cdot C^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(0) + 1(2) + (-1)(2) \\ 2(0) + 1(2) + (-1)(2) \\ 1(0) + 1(2) + 0(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo, el orden importa: $(A \cdot B) \cdot C^T$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot B \cdot C^T = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}$$

**b) Calcula $\frac{1}{3}B^2 - I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (0.75 puntos)** Primero calculamos $B^2 = B \cdot B$: $$B^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos los elementos: - Fila 1: $(-1)(-1) + 0 + 1(1) = 2$ $(-1)(0) + 0 + 1(1) = 1$ $(-1)(1) + 0 + 1(0) = -1$ - Fila 2: $0 + (-1)(0) + (-1)(1) = -1$ $0 + (-1)(-1) + (-1)(1) = 0$ $0 + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1$ - Fila 3: $1(-1) + 1(0) + 0 = -1$ $1(0) + 1(-1) + 0 = -1$ $1(1) + 1(-1) + 0 = 0$ $$B^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Multiplicamos $B^2$ por el escalar $\frac{1}{3}$ y restamos la identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$: $$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 0 & 1/3 \\ -1/3 & -1/3 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Restamos término a término: $$\begin{pmatrix} 2/3 - 1 & 1/3 - 0 & -1/3 - 0 \\ -1/3 - 0 & 0 - 1 & 1/3 - 0 \\ -1/3 - 0 & -1/3 - 0 & 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1 & 1/3 \\ -1/3 & -1/3 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{1}{3}B^2 - I = \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & -1 & 1/3 \\ -1/3 & -1/3 & -1 \end{pmatrix}}$$

**c) Razona si se puede calcular $(A - B) - C$ y $B \cdot C$ (No es necesario realizar las operaciones). (0.5 puntos)** Analizamos las dimensiones de las matrices: - $A$ es $3 \times 3$. - $B$ es $3 \times 3$. - $C$ es $1 \times 3$. 1. Para la operación **$(A - B) - C$**: - La resta $(A - B)$ es posible porque ambas matrices tienen la misma dimensión ($3 \times 3$). El resultado es otra matriz $3 \times 3$. - Sin embargo, para restar $C$ al resultado $(A - B)$, ambas deberían tener la misma dimensión. Como $(A - B)$ es $3 \times 3$ y $C$ es $1 \times 3$, **no se puede realizar la resta**. 2. Para la operación **$B \cdot C$**: - Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera (B) debe ser igual al número de filas de la segunda (C). - Columnas de $B = 3$. - Filas de $C = 1$. - Como $3 \neq 1$, **no se puede realizar el producto**. 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar o restar, las matrices deben ser idénticas en dimensiones. Para multiplicar $M_{m\times n} \cdot N_{p\times q}$, debe cumplirse $n=p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede calcular ninguna de las dos operaciones por incompatibilidad de dimensiones.}}$$