Probabilidad de selección de estudiantes Erasmus

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos básicos y el contexto del experimento: - $M$: El estudiante seleccionado es mujer. - $H$: El estudiante seleccionado es hombre. Datos iniciales: - Total de estudiantes: $N = 80$ - Número de mujeres: $n(M) = 50$ - Número de hombres: $n(H) = 80 - 50 = 30$ Como la selección es **sin reposición**, las probabilidades cambian en cada extracción ya que el número total de estudiantes y el número de personas de cada sexo disminuyen. A continuación, representamos las dos primeras extracciones para visualizar la estructura del problema (un árbol completo de tres niveles sería demasiado extenso, pero seguiremos la misma lógica de reducción de casos): 💡 **Tip:** En experimentos sin reposición, recuerda que tanto el numerador como el denominador de la fracción disminuyen en 1 unidad si el suceso se repite.

**a) Los tres seleccionados sean mujeres. (0.5 puntos)** Queremos calcular $P(M_1 \cap M_2 \cap M_3)$. Aplicamos la regla del producto para sucesos dependientes: 1. Primera extracción: $P(M_1) = \dfrac{50}{80}$ 2. Segunda extracción (quedan 49 mujeres de 79 alumnos): $P(M_2|M_1) = \dfrac{49}{79}$ 3. Tercera extracción (quedan 48 mujeres de 78 alumnos): $P(M_3|M_1 \cap M_2) = \dfrac{48}{78}$ Multiplicamos las probabilidades: $$P(M_1 \cap M_2 \cap M_3) = \frac{50}{80} \cdot \frac{49}{79} \cdot \frac{48}{78}$$ Simplificamos y operamos: $$P(MMM) = \frac{5 \cdot 49 \cdot 48}{8 \cdot 79 \cdot 78} = \frac{117600}{492960} = \frac{245}{1027} \approx 0.2386$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{3 mujeres}) = \frac{245}{1027} \approx 0.2386}$$

**b) Los tres seleccionados sean del mismo sexo. (0.5 puntos)** Para que los tres sean del mismo sexo, deben ser o bien las tres mujeres ($MMM$) o bien los tres hombres ($HHH$). Estos sucesos son mutuamente excluyentes, por lo que sumamos sus probabilidades: $$P(\text{Mismo sexo}) = P(MMM) + P(HHH)$$ Ya conocemos $P(MMM) = \dfrac{117600}{492960}$. Calculamos $P(HHH)$ siguiendo el mismo razonamiento: $$P(HHH) = \frac{30}{80} \cdot \frac{29}{79} \cdot \frac{28}{78} = \frac{24360}{492960}$$ Sumamos ambas: $$P(\text{Mismo sexo}) = \frac{117600}{492960} + \frac{24360}{492960} = \frac{141960}{492960}$$ Simplificando la fracción: $$P(\text{Mismo sexo}) = \frac{1183}{4108} \approx 0.2880$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Mismo sexo}) = \frac{1183}{4108} \approx 0.2880}$$

**c) Al menos dos de los seleccionados sean hombres. (0.5 puntos)** El suceso "al menos dos sean hombres" incluye dos casos posibles: 1. Exactamente 2 hombres y 1 mujer ($HHM$ en cualquier orden). 2. Exactamente 3 hombres ($HHH$). **Caso 1: 2 hombres y 1 mujer.** Las combinaciones posibles son $HHM$, $HMH$ y $MHH$. La probabilidad de cada una es idéntica en valor absoluto: $$P(HHM) = \frac{30}{80} \cdot \frac{29}{79} \cdot \frac{50}{78} = \frac{43500}{492960}$$ Como hay $3$ ordenaciones posibles: $$P(\text{2H y 1M}) = 3 \cdot \frac{43500}{492960} = \frac{130500}{492960}$$ **Caso 2: 3 hombres.** $$P(HHH) = \frac{24360}{492960} \text{ (calculado en el apartado anterior)}$$ **Suma de casos:** $$P(\text{Al menos 2H}) = \frac{130500}{492960} + \frac{24360}{492960} = \frac{154860}{492960}$$ Simplificamos: $$P(\text{Al menos 2H}) = \frac{2581}{8216} \approx 0.3141$$ 💡 **Tip:** "Al menos $n$" significa que el número de éxitos puede ser $n$ o superior hasta el máximo de extracciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Al menos 2 hombres}) = \frac{2581}{8216} \approx 0.3141}$$