Inferencia estadística: Pesos de motores de Fórmula 1

**a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del peso de los motores con un nivel de confianza del $95 \%$. (1 punto)** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 81$ - Media muestral: $\bar{x} = 153$ kg - Desviación típica poblacional: $\sigma = 30$ kg - Distribución normal: $N(\mu, \sigma)$ 💡 **Tip:** En los problemas de inferencia para la media, es fundamental distinguir entre la desviación típica de la población ($\sigma$) y el error estándar de la media ($\%\sigma/\sqrt{n}$).

Para un nivel de confianza del $95 \%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 2. Significancia: $\alpha = 0.05$ 3. Probabilidad acumulada: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ proporcionada el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0.9750$: En la fila de $1.9$ y la columna de $0.06$, encontramos el valor $0.9750$. Por lo tanto: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{30}{\sqrt{81}} = 1.96 \cdot \frac{30}{9} = 1.96 \cdot 3.3333 = 6.5333$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $153 - 6.5333 = 146.4667$ - Límite superior: $153 + 6.5333 = 159.5333$ ✅ **Resultado del intervalo:** $$\boxed{IC = (146.47, 159.53)}$$

**b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño $100$ y un nivel de confianza del $93.12 \ %$? (0.5 puntos)** Nuevos datos del apartado: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.9312$ Calculamos el nuevo valor crítico: 1. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{1 - 0.9312}{2} = 1 - 0.0344 = 0.9656$ Buscamos $0.9656$ en la tabla: corresponde a la fila $1.8$ y la columna $0.02$. Entonces, $z_{\alpha/2} = 1.82$. Calculamos el error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.82 \cdot \frac{30}{\sqrt{100}} = 1.82 \cdot \frac{30}{10} = 1.82 \cdot 3 = 5.46$$ ✅ **Resultado del error:** $$\boxed{E = 5.46 \text{ kg}}$$

**c) El fabricante afirma que el peso medio de los motores es de $145$ kg. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del $92 \ %$? Justificar la respuesta. (0.5 puntos)** Para aceptar o rechazar la afirmación, debemos comprobar si el valor propuesto ($\mu_0 = 145$ kg) pertenece al intervalo de confianza al $92 \ %$ con la muestra inicial ($n=81, \bar{x}=153, \sigma=30$). 1. Hallamos el valor crítico para $92 \ %$: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.08}{2} = 0.96$ 2. Buscamos en la tabla el valor más cercano a $0.96$. Vemos que para $z=1.80$ la probabilidad es $0.9641$. Por tanto, el valor crítico para $0.96$ será algo menor que $1.80$. Usando el valor de la tabla más próximo o aproximado (digamos $z \approx 1.75$): 3. Calculamos el límite inferior del intervalo para ver si contiene al $145$: $$E = 1.75 \cdot \frac{30}{\sqrt{81}} = 1.75 \cdot 3.33 = 5.83$$ $$L_{inferior} = 153 - 5.83 = 147.17$$ **Justificación:** Como el valor afirmado por el fabricante ($145$ kg) es menor que el límite inferior del intervalo ($147.17$ kg), el valor no está dentro del rango de valores verosímiles para la media. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación, ya que 145 está fuera del intervalo de confianza.}}$$