Continuidad de una función a trozos con parámetros y representación gráfica

**a) ¿Existe un valor de $t$ para el que la función $f(x)$ es continua en $x = -2$ y en $x = 2$? (0.75 puntos)** Para que la función sea continua en $x = -2$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Límite por la izquierda** ($x \to -2^-$): usamos la primera rama. $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = -(-2 + t)^2 + 2$$ 2. **Límite por la derecha** ($x \to -2^+$): usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to -2^+} f(x) = t - 2$$ 3. **Valor de la función**: $f(-2) = -(-2 + t)^2 + 2$. Igualamos ambos límites para que no haya un salto entre ramas en $x = -2$: $$-(-2 + t)^2 + 2 = t - 2$$ $$-(4 - 4t + t^2) + 2 = t - 2$$ $$-4 + 4t - t^2 + 2 = t - 2 \implies -t^2 + 3t = 0$$ Factorizamos: $t(-t + 3) = 0$, lo que nos da dos posibles valores: $$\boxed{t = 0 \quad \text{o} \quad t = 3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función es continua en un punto si el límite existe y coincide con el valor de la función.

Ahora analizamos la continuidad en el punto de cambio $x = 2$: 1. **Límite por la izquierda** ($x \to 2^-$): usamos la segunda rama. $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = t - 2$$ 2. **Límite por la derecha** ($x \to 2^+$): usamos la tercera rama. $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2^2 - (t + 3)(2) + 9 = 4 - 2t - 6 + 9 = 7 - 2t$$ Igualamos los límites para evitar el salto entre ramas: $$t - 2 = 7 - 2t$$ $$3t = 9$$ $$\boxed{t = 3}$$ 💡 **Tip:** Para que una función a trozos sea continua en todo su dominio, el valor del parámetro debe satisfacer las condiciones de continuidad en todos los puntos de unión simultáneamente.

Para que la función sea continua en $x = -2$, necesitamos que $t$ sea $0$ o $3$. Para que sea continua en $x = 2$, necesitamos que $t$ sea $3$. Por lo tanto, el único valor que hace que la función sea continua en ambos puntos a la vez es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 3}$$

**b) Representa gráficamente la función $f(x)$ para $t = 3$. (0.75 puntos)** Sustituimos $t = 3$ en la expresión original de $f(x)$: $$f(x) = \begin{cases} -(x + 3)^2 + 2 & \text{si } x \le -2 \\ 3 - 2 = 1 & \text{si } -2 < x \le 2 \\ x^2 - (3 + 3)x + 9 = x^2 - 6x + 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ Simplificando las expresiones: - **Rama 1 ($x \le -2$):** Parábola cóncava hacia abajo con vértice en $(-3, 2)$. Pasa por $(-2, 1)$. - **Rama 2 ($-2 < x \le 2$):** Función constante $y = 1$ (recta horizontal). - **Rama 3 ($x > 2$):** Parábola $y = (x - 3)^2$ con vértice en $(3, 0)$. Pasa por $(2, 1)$. 💡 **Tip:** Al representar parábolas, es fundamental hallar el vértice $V(x_v, y_v)$ usando $x_v = -b/(2a)$ o identificando la forma canónica.