Estudio de la altura de un proyectil

**a) ¿Qué altura habrá alcanzado la pelota a los $3$ segundos? (0.5 puntos)** Para resolver este apartado, simplemente debemos evaluar la función altura $H(x)$ en el instante de tiempo $x = 3$. Sustituimos el valor en la expresión: $$H(3) = 20(3) - 2(3)^2$$ Realizamos las operaciones paso a paso: 1. Calculamos la potencia: $3^2 = 9$ 2. Multiplicamos: $20 \cdot 3 = 60$ y $2 \cdot 9 = 18$ 3. Restamos: $H(3) = 60 - 18 = 42$ 💡 **Tip:** Recuerda que evaluar una función consiste en sustituir la variable independiente (en este caso el tiempo $x$) por el número indicado y operar respetando la jerarquía. ✅ **Resultado:** $$\boxed{42 \text{ metros}}$$

**b) ¿En qué momentos la pelota se encuentra a $32$ metros de altura? (0.5 puntos)** En este caso, conocemos el valor de la altura $H(x) = 32$ y queremos hallar el tiempo $x$. Igualamos la función a $32$: $$20x - 2x^2 = 32$$ Reordenamos la ecuación para tener una ecuación de segundo grado de la forma $ax^2 + bx + c = 0$: $$-2x^2 + 20x - 32 = 0$$ 💡 **Tip:** Para facilitar los cálculos, podemos dividir toda la ecuación por $-2$: $$x^2 - 10x + 16 = 0$$

Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Donde $a = 1, b = -10, c = 16$: $$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x_1 = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ 2. $x_2 = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Ambos valores están dentro del dominio del problema ($0 \le x \le 10$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A los } 2 \text{ segundos y a los } 8 \text{ segundos}}$$

**c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento? (1 punto)** Para hallar el máximo de una función, buscamos los puntos donde su derivada es igual a cero ($H'(x) = 0$). Calculamos la derivada de $H(x) = 20x - 2x^2$: $$H'(x) = 20 - 4x$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$20 - 4x = 0 \implies 20 = 4x \implies x = \frac{20}{4} = 5 \text{ segundos}$$ 💡 **Tip:** En una parábola con coeficiente de $x^2$ negativo ($a = -2$), el vértice siempre representa el valor máximo.

Comprobamos que es un máximo estudiando el signo de la derivada o mediante la segunda derivada: $$H''(x) = -4$$ Como $H''(5) = -4 \lt 0$, confirmamos que en $x = 5$ hay un **máximo**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,5) & 5 & (5,10)\\\hline H'(x) & + & 0 & -\\ H(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Calculamos la altura máxima sustituyendo $x=5$ en la función original: $$H(5) = 20(5) - 2(5)^2 = 100 - 2(25) = 100 - 50 = 50 \text{ metros}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Altura máxima: } 50 \text{ metros en el momento } x = 5 \text{ segundos}}$$