Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en aerolíneas

**a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades.** Primero, definimos los sucesos principales para organizar la información: - $L$: El vuelo pertenece a la compañía LAVOLONA. - $N$: El vuelo pertenece a la compañía NUBERIA. - $B$: El vuelo pertenece a la compañía BRINKEN. - $R$: El vuelo llega con retraso. - $\bar{R}$: El vuelo no llega con retraso (llega puntual). Calculamos la probabilidad de BRINKEN, ya que el enunciado dice que es "el resto": $$P(B) = 1 - (P(L) + P(N)) = 1 - (0.30 + 0.25) = 1 - 0.55 = 0.45$$ Las probabilidades condicionadas de retraso según la compañía son: $P(R|L) = 0.05$, $P(R|N) = 0.08$, $P(R|B) = 0.12$. 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidades, la suma de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**b) Se ha ido a recoger un pasajero al aeropuerto y el avión llega con retraso. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión pertenezca a la compañía NUBERIA?** Nos piden calcular $P(N|R)$. Para ello, aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(N|R) = \frac{P(N \cap R)}{P(R)} = \frac{P(N) \cdot P(R|N)}{P(R)}$$ Primero, calculamos la probabilidad total de que un avión llegue con retraso, $P(R)$, sumando todas las ramas que terminan en $R$: $$P(R) = P(L) \cdot P(R|L) + P(N) \cdot P(R|N) + P(B) \cdot P(R|B)$$ $$P(R) = 0.30 \cdot 0.05 + 0.25 \cdot 0.08 + 0.45 \cdot 0.12$$ $$P(R) = 0.015 + 0.02 + 0.054 = 0.089$$ Ahora sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(N|R) = \frac{0.25 \cdot 0.08}{0.089} = \frac{0.02}{0.089} \approx 0.2247$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos da el denominador, y el numerador es simplemente el camino específico que nos interesa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N|R) = \frac{20}{89} \approx 0.2247}$$

**c) Suponiendo que los retrasos se producen independientemente unos de otros, si los dos próximos aterrizajes corresponden a sendos aviones de la compañía BRINKEN, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos llegue con retraso?** Sea $R_1$ el suceso "el primer avión de BRINKEN se retrasa" y $R_2$ el suceso "el segundo avión de BRINKEN se retrasa". Sabemos que para BRINKEN: $$P(R|B) = 0.12 \implies P(\bar{R}|B) = 1 - 0.12 = 0.88$$ Nos piden la probabilidad de que **alguno** llegue con retraso. Esto es equivalente a calcular el suceso contrario: que **ninguno** llegue con retraso. $P(\text{alguno con retraso}) = 1 - P(\text{ninguno con retraso})$ $P(\text{ninguno con retraso}) = P(\bar{R}_1 \cap \bar{R}_2)$ Como los sucesos son independientes: $$P(\bar{R}_1 \cap \bar{R}_2) = P(\bar{R}_1) \cdot P(\bar{R}_2) = 0.88 \cdot 0.88 = 0.7744$$ Finalmente: $$P(\text{alguno R}) = 1 - 0.7744 = 0.2256$$ 💡 **Tip:** Cuando te pidan la probabilidad de "al menos uno" o "alguno", suele ser mucho más rápido calcular $1 - P(\text{ninguno})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.2256}$$