Aproximación de la Binomial por la Normal

Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de clientes que realizan una compra de entre los 500 seleccionados. Se trata de una **distribución Binomial** $B(n, p)$ con los siguientes parámetros: - $n = 500$ (número de clientes o ensayos). - $p = 0.1$ (probabilidad de realizar una compra). - $q = 1 - p = 0.9$ (probabilidad de no comprar). Para trabajar con una muestra tan grande ($n=500$), comprobamos si podemos aproximar la distribución a una **Normal** mediante las condiciones: 1. $n \cdot p = 500 \cdot 0.1 = 50 \ge 5$ 2. $n \cdot q = 500 \cdot 0.9 = 450 \ge 5$ Como se cumplen ambas condiciones, podemos aproximar $X \sim B(500, 0.1)$ por una normal $X_N \sim N(\mu, \sigma)$: - Media: $\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0.1 = 50$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{500 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{45} \approx 6.71$ Por tanto, usaremos $X_N \sim N(50, \, 6.71)$. 💡 **Tip:** Recuerda que para aproximar una Binomial por una Normal debemos aplicar siempre la **corrección de continuidad de Yates**, sumando o restando $0.5$ a los límites del intervalo.

**a) Entre 40 y 60 clientes realicen una compra.** Buscamos $P(40 \le X \le 60)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(40 \le X \le 60) \approx P(39.5 \le X_N \le 60.5)$$ Ahora tipificamos la variable usando $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$: $$z_1 = \frac{39.5 - 50}{6.71} = \frac{-10.5}{6.71} \approx -1.56$$ $$z_2 = \frac{60.5 - 50}{6.71} = \frac{10.5}{6.71} \approx 1.56$$ Calculamos la probabilidad: $$P(-1.56 \le Z \le 1.56) = P(Z \le 1.56) - P(Z \le -1.56)$$ Utilizando las propiedades de simetría: $P(Z \le -1.56) = 1 - P(Z \le 1.56)$. $$P(-1.56 \le Z \le 1.56) = P(Z \le 1.56) - [1 - P(Z \le 1.56)] = 2 \cdot P(Z \le 1.56) - 1$$ Buscamos en la tabla de la $N(0,1)$ el valor de $1.56$: $P(Z \le 1.56) = 0.9406$. $$2 \cdot 0.9406 - 1 = 1.8812 - 1 = 0.8812$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(40 \le X \le 60) = 0.8812}$$

**b) Al menos, 435 clientes no hayan comprado.** Si al menos 435 no han comprado, esto significa que el número de clientes que **SÍ** han comprado es, como máximo: $$500 - 435 = 65$$ Por tanto, nos piden $P(X \le 65)$. Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(X \le 65) \approx P(X_N \le 65.5)$$ Tipificamos: $$z = \frac{65.5 - 50}{6.71} = \frac{15.5}{6.71} \approx 2.31$$ Buscamos en la tabla: $$P(Z \le 2.31) = 0.9896$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado! Siempre debes traducir las frases del enunciado a la variable que has definido. Si $X$ son los que compran, "no comprar" es el suceso contrario.

Tras realizar los cálculos anteriores, concluimos que la probabilidad de que al menos 435 clientes no hayan comprado es la misma que la probabilidad de que compren 65 o menos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 65) = 0.9896}$$

**c) Al menos 45 clientes realicen una compra.** Buscamos $P(X \ge 45)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(X \ge 45) \approx P(X_N \ge 44.5)$$ Tipificamos: $$z = \frac{44.5 - 50}{6.71} = \frac{-5.5}{6.71} \approx -0.82$$ Calculamos la probabilidad: $$P(Z \ge -0.82) = P(Z \le 0.82)$$ Buscamos en la tabla el valor para $0.82$: $$P(Z \le 0.82) = 0.7939$$ 💡 **Tip:** Por simetría de la campana de Gauss, la probabilidad a la derecha de un valor negativo es igual a la probabilidad a la izquierda de ese mismo valor en positivo: $P(Z \ge -a) = P(Z \le a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 45) = 0.7939}$$