Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la proporción

**a) Determinar la proporción muestral de los estudiantes de ese grado que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.** Primero, identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $150$ estudiantes. - Estudiantes que **sí** utilizan exclusivamente el campus: $x = 90$. Calculamos la proporción muestral de los que **sí** lo utilizan: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{90}{150} = 0.6$$ La pregunta nos pide la proporción de los que **no** lo utilizan exclusivamente (el complementario): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.6 = 0.4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una población binaria (sí/no), la suma de las proporciones de ambas opciones siempre debe ser $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\hat{q} = 0.4 \text{ (o } 40\% \text{)}}$$

**b) Determinar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de estudiantes de ese grado que utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.** Para el intervalo de confianza de la proporción utilizaremos la fórmula: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$ ($0.99$): 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ 2. $\frac{\alpha}{2} = 0.005$ 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.005 = 0.9950$. Mirando las tablas, para $0.9950$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 2.575$$ 💡 **Tip:** El valor $2.575$ se obtiene haciendo la media entre los valores correspondientes a $0.9949$ ($z=2.57$) y $0.9951$ ($z=2.58$).

Ahora sustituimos los valores conocidos: $n=150$, $\hat{p}=0.6$, $\hat{q}=0.4$ y $z_{\alpha/2}=2.575$. Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{150}} = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{150}}$$ $$E = 2.575 \cdot \sqrt{0.0016} = 2.575 \cdot 0.04 = 0.103$$ Construimos el intervalo: $$I.C. = (0.6 - 0.103, \quad 0.6 + 0.103) = (0.497, \quad 0.703)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{99\%} = (0.497, \quad 0.703)}$$

**c) Si se mantiene la proporción muestral del apartado a), para una muestra de 450 estudiantes del referido grado, ¿cuál es el intervalo de confianza al 97% para la proporción de estudiantes que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.** En este apartado cambian los datos: - Nueva muestra: $n = 450$. - Proporción de interés (no utilizan): $\hat{q} = 0.4$ (por tanto, el complementario para la fórmula es $0.6$). - Nivel de confianza: $97\%$ ($0.97$). Calculamos el nuevo $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. $\frac{\alpha}{2} = 0.015$ 3. Buscamos en la tabla $1 - 0.015 = 0.9850$. En la tabla de la normal estándar: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de leer bien qué proporción te piden. Aquí piden el intervalo para los que **no** utilizan el campus, por lo que el centro del intervalo será $0.4$.

Calculamos el nuevo error para $n=450$, $\hat{p}=0.4$ y $z_{\alpha/2}=2.17$: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{450}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{450}} \approx 2.17 \cdot \sqrt{0.0005333}$$ $$E \approx 2.17 \cdot 0.02309 \approx 0.0501$$ Construimos el intervalo centrado en $\hat{q}=0.4$: $$I.C. = (0.4 - 0.0501, \quad 0.4 + 0.0501) = (0.3499, \quad 0.4501)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{97\%} = (0.3499, \quad 0.4501)}$$