Probabilidad y Estadística 2023 Canarias
Inferencia estadística: Intervalos de confianza y tamaño muestral
B2. En una encuesta se pregunta a 10000 jóvenes sobre el número de botellines de cerveza que consumen a la semana, resultando una media de 5 botellines y una desviación típica de 2 botellines. Suponiendo que esta variable es normal:
a) Determinar un intervalo de confianza al 80% para el número medio de botellines consumidos a la semana.
b) Si, para estimar el número medio de botellines de cerveza que consumen a la semana, se admite un error máximo de 0,25 botellines, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos jóvenes en necesario entrevistar?
c) Si la encuesta se realizara a 8500 jóvenes y se obtuviera la misma media de 5 botellines y, con una confianza del 82%, se obtuviera el mismo intervalo del apartado a), ¿cuál debería ser la desviación típica?
Paso 1
Identificación de los datos del problema
Para resolver este problema de inferencia sobre la media poblacional $\mu$, primero identificamos los datos proporcionados para el primer escenario:
* Tamaño de la muestra: $n = 10000$
* Media muestral: $\bar{x} = 5$
* Desviación típica poblacional (asumida de la muestra por ser grande): $\sigma = 2$
* La variable sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$.
💡 **Tip:** En problemas de inferencia para la media, si el tamaño de la muestra $n$ es muy grande ($n > 30$), podemos usar la desviación típica de la muestra como una buena aproximación de la poblacional.
Paso 2
Cálculo del valor crítico para el 80%
**a) Determinar un intervalo de confianza al 80% para el número medio de botellines consumidos a la semana.**
Para un nivel de confianza del $80\%$, tenemos:
$1 - \alpha = 0,80 \implies \alpha = 0,20 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0,10$
Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea:
$$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,10 = 0,90$$
Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$, el valor más cercano a $0,90$ es $1,28$ (ya que $P(Z \le 1,28) \approx 0,8997$).
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,28}$$
Paso 3
Cálculo del intervalo de confianza
Calculamos el error máximo admisible $E$ mediante la fórmula:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,28 \cdot \frac{2}{\sqrt{10000}} = 1,28 \cdot \frac{2}{100} = 1,28 \cdot 0,02 = 0,0256$$
El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$:
$$I.C. = (5 - 0,0256; 5 + 0,0256) = (4,9744; 5,0256)$$
💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la forma: $\bar{x} \pm E$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{I.C. = (4,9744; 5,0256)}$$
Paso 4
Determinación del valor crítico para el nivel de confianza 0,9
**b) Si, para estimar el número medio de botellines de cerveza que consumen a la semana, se admite un error máximo de 0,25 botellines, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos jóvenes en necesario entrevistar?**
Datos para este apartado:
* Error máximo: $E = 0,25$
* Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0,05$
* Desviación típica: $\sigma = 2$
Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$.
En las tablas, para una probabilidad de $0,95$, el valor crítico es exactamente el valor intermedio entre $1,64$ y $1,65$.
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,645}$$
Paso 5
Cálculo del tamaño muestral
Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejada del error:
$$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$
Sustituimos los valores:
$$n = \left( \frac{1,645 \cdot 2}{0,25} \right)^2 = \left( \frac{3,29}{0,25} \right)^2 = (13,16)^2 = 173,1856$$
Como el número de personas debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0,25$, debemos redondear siempre al entero superior.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{n = 174 \text{ jóvenes}}$$
Paso 6
Ajuste de parámetros para el nuevo escenario
**c) Si la encuesta se realizara a 8500 jóvenes y se obtuviera la misma media de 5 botellines y, con una confianza del 82%, se obtuviera el mismo intervalo del apartado a), ¿cuál debería ser la desviación típica?**
Datos de este apartado:
* Nuevo tamaño muestral: $n' = 8500$
* Media: $\bar{x} = 5$
* Intervalo deseado: $(4,9744; 5,0256)$, lo que implica que el error es $E = 0,0256$.
* Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,82 \implies \alpha = 0,18 \implies \dfrac{\alpha}{2} = 0,09$
Buscamos el valor crítico para $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,09 = 0,91$.
Mirando las tablas, para una probabilidad de $0,9099 \approx 0,91$, el valor es:
$$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,34}$$
Paso 7
Cálculo de la nueva desviación típica
Partimos de la fórmula del error:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma'}{\sqrt{n'}}$$
Despejamos $\sigma'$:
$$\sigma' = \frac{E \cdot \sqrt{n'}}{z_{\alpha/2}}$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$\sigma' = \frac{0,0256 \cdot \sqrt{8500}}{1,34}$$
Calculamos la raíz:
$$\sqrt{8500} \approx 92,195$$
Operamos:
$$\sigma' = \frac{0,0256 \cdot 92,195}{1,34} = \frac{2,3602}{1,34} \approx 1,7613$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\sigma' \approx 1,761 \text{ botellines}}$$