Probabilidad de averías en un taller de vehículos

**a) Construir un diagrama de árbol que describa lo anterior.** Primero, definimos los sucesos según el tipo de vehículo: - $C$: El vehículo es un coche. - $T$: El vehículo es un camión. - $G$: El vehículo es una guagua. - $M$: El vehículo es una moto. - $S$: El vehículo tiene fallos en el sistema de arranque. - $\bar{S}$: El vehículo **no** tiene fallos en el sistema de arranque. Calculamos la probabilidad de las motos sabiendo que es el resto: $$P(M) = 1 - (P(C) + P(T) + P(G)) = 1 - (0.45 + 0.25 + 0.20) = 1 - 0.90 = 0.10.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que salen de un mismo nodo debe ser siempre $1$ (o el $100\%$).

**b) Calcular la probabilidad de que se repare en el taller un vehículo que no tenga fallos en el sistema de arranque.** Para calcular la probabilidad de que un vehículo no tenga fallos ($P(\bar{S})$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Esto consiste en sumar las probabilidades de llegar al suceso $\bar{S}$ a través de cada tipo de vehículo: $$P(\bar{S}) = P(C) \cdot P(\bar{S}|C) + P(T) \cdot P(\bar{S}|T) + P(G) \cdot P(\bar{S}|G) + P(M) \cdot P(\bar{S}|M)$$ Sustituimos los valores del diagrama: - $P(\bar{S}|C) = 1 - 0.10 = 0.90$ - $P(\bar{S}|T) = 1 - 0.15 = 0.85$ - $P(\bar{S}|G) = 1 - 0.09 = 0.91$ - $P(\bar{S}|M) = 1 - 0.12 = 0.88$ Realizamos la operación: $$P(\bar{S}) = (0.45 \cdot 0.90) + (0.25 \cdot 0.85) + (0.20 \cdot 0.91) + (0.10 \cdot 0.88)$$ $$P(\bar{S}) = 0.405 + 0.2125 + 0.182 + 0.088$$ $$P(\bar{S}) = 0.8875$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S}) = 0.8875}$$

**c) Si se ha reparado en el taller un vehículo que presentaba fallos en el sistema de arranque, ¿cuál es la probabilidad de que sea una moto?** Nos piden la probabilidad de que sea moto dado que sabemos que tiene un fallo de arranque, es decir, $P(M|S)$. Usaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|S) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{P(M) \cdot P(S|M)}{P(S)}$$ Primero, calculamos $P(S)$ (probabilidad de que tenga fallo). Como sabemos que $P(\bar{S}) = 0.8875$, podemos usar el suceso contrario: $$P(S) = 1 - P(\bar{S}) = 1 - 0.8875 = 0.1125.$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(M|S) = \frac{0.10 \cdot 0.12}{0.1125}$$ $$P(M|S) = \frac{0.012}{0.1125}$$ $$P(M|S) \approx 0.1067$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite calcular la probabilidad de una 'causa' (ser moto) dado un 'efecto' observado (tener fallo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|S) = 0.1067 \text{ (o } 10.67\%\text{)}}$$