Probabilidad y estadística en aves rapaces

**a) Si en un zoo tenemos 10 aves rapaces nacidas este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellas sigan vivas dentro de 5 años.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de aves rapaces que sobreviven más de 5 años de un total de $n=10$. Cada ave tiene una probabilidad de éxito $p=0.10$ (sobrevivir) y una de fracaso $q = 1 - p = 0.90$. Estamos ante una distribución binomial: $$X \sim B(10, \, 0.10)$$ 💡 **Tip:** Una distribución es binomial cuando tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n$), con dos posibles resultados y una probabilidad de éxito ($p$) constante.

Se nos pide hallar $P(X \ge 2)$. Es más sencillo calcularla utilizando el suceso contrario: $$P(X \ge 2) = 1 - P(X \lt 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$$ Aplicamos la fórmula de la probabilidad binomial $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: 1. Para $k=0$: $$P(X=0) = \binom{10}{0} (0.10)^0 (0.90)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.3487 = 0.3487$$ 2. Para $k=1$: $$P(X=1) = \binom{10}{1} (0.10)^1 (0.90)^9 = 10 \cdot 0.10 \cdot 0.3874 = 0.3874$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(X \lt 2) = 0.3487 + 0.3874 = 0.7361$$ Finalmente: $$P(X \ge 2) = 1 - 0.7361 = 0.2639$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 2) = 0.2639}$$ 💡 **Tip:** Usar el suceso contrario es muy útil cuando nos piden probabilidades del tipo "al menos...", ya que evita sumar muchos términos.

**b) Si entre todos los zoológicos del país hay 200 aves rapaces nacidas este mismo año, hallar la probabilidad de que, al cabo de 5 años, hayan sobrevivido más de 10 y menos de 15 de ellas.** Ahora tenemos $n=200$ y $p=0.10$. Definimos la nueva variable $Y \sim B(200, \, 0.10)$. Como $n$ es grande, comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 200 \cdot 0.10 = 20 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 200 \cdot 0.90 = 180 \gt 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $Y$ por una normal $Y' \sim N(\mu, \sigma)$: $$\mu = n \cdot p = 20$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0.10 \cdot 0.90} = \sqrt{18} \approx 4.24$$ Por tanto, $Y' \sim N(20, \, 4.24)$.

Queremos hallar $P(10 \lt Y \lt 15)$, lo que equivale a $P(Y=11, 12, 13, 14)$ en la variable discreta. Al pasar a la normal continua, aplicamos la **corrección de Yates (continuidad)**: $$P(10.5 \le Y' \le 14.5)$$ Ahora tipificamos la variable usando $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P\left( \frac{10.5 - 20}{4.24} \le Z \le \frac{14.5 - 20}{4.24} \right)$$ $$P(-2.24 \le Z \le -1.30)$$ 💡 **Tip:** Al aproximar una discreta por una continua, el valor $k$ se convierte en el intervalo $[k-0.5, k+0.5]$.

Calculamos la probabilidad en la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$P(-2.24 \le Z \le -1.30) = P(1.30 \le Z \le 2.24)$$ $$P(Z \le 2.24) - P(Z \le 1.30)$$ Buscamos los valores en la tabla de la normal: - $P(Z \le 2.24) = 0.9875$ - $P(Z \le 1.30) = 0.9032$ Restamos: $$0.9875 - 0.9032 = 0.0843$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(10 \lt Y \lt 15) \approx 0.0843}$$

**c) Se ha hecho un seguimiento de 160 aves rapaces que viven en libertad, observándose que sólo 12 de ellas han sobrevivido más de 5 años. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la proporción de aves rapaces en libertad que sobreviven más de 5 años.** Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 160$ - Éxitos: $x = 12$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{12}{160} = 0.075$ - $q = 1 - \hat{p} = 0.925$ Nivel de confianza $90\%$: - $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$ - $\alpha/2 = 0.05$ - El valor crítico $z_{\alpha/2}$ que deja un área de $0.95$ a su izquierda es $z_{0.05} = 1.645$. 💡 **Tip:** Para un nivel de confianza del $90\%$, el valor crítico siempre es $1.645$.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.075 \cdot 0.925}{160}} = 1.645 \cdot \sqrt{0.00043359}$$ $$E = 1.645 \cdot 0.02082 = 0.03425$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.075 - 0.03425 = 0.04075$ - Límite superior: $0.075 + 0.03425 = 0.10925$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = (0.0408, \, 0.1093)}$$ (Redondeando a cuatro decimales).