Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) Determinar un intervalo de confianza, al 96%, para la proporción de pasajeros que viajan con descuento de residente.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Pasajeros con descuento: $225$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{225}{300} = 0.75$$ Por tanto, la proporción de pasajeros que no tienen descuento es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.75 = 0.25$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral siempre es el número de éxitos dividido por el tamaño total de la muestra.

Para un nivel de confianza del $96\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.96$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.96 = 0.04$ 2. $\alpha/2 = 0.02$ 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$. Mirando la tabla, observamos que para una probabilidad de $0.98$, el valor más cercano es: $$z_{\alpha/2} = 2.05$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza indica el área central de la campana de Gauss. El área restante ($\alpha$) se reparte en las dos colas.

El error máximo admitido ($E$) se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.05 \cdot \sqrt{\frac{0.75 \cdot 0.25}{300}} = 2.05 \cdot \sqrt{0.000625} = 2.05 \cdot 0.025 = 0.05125$$ El intervalo de confianza es $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.75 - 0.05125, \; 0.75 + 0.05125)$$ $$IC = (0.69875, \; 0.80125)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.6988, \; 0.8013)}$$

**b) Usando la proporción de pasajeros con descuento de residencia calculada en esta muestra como estimación de dicha proporción en la población, ¿de qué tamaño debería ser la muestra si se desea construir un intervalo de confianza al 92% para esa proporción con un error máximo de 0.03?** Datos para este apartado: - Proporción estimada: $\hat{p} = 0.75$ y $\hat{q} = 0.25$ - Error máximo: $E = 0.03$ - Confianza: $92\% \implies 1 - \alpha = 0.92$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$ 2. $\alpha/2 = 0.04$ 3. Buscamos $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$. En la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a $0.96$ es aproximadamente: $$z_{\alpha/2} = 1.75$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, tomamos el más cercano o hacemos una media si está justo en medio.

Utilizamos la fórmula del tamaño de la muestra despejando de la fórmula del error: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos: $$n = \frac{1.75^2 \cdot 0.75 \cdot 0.25}{0.03^2} = \frac{3.0625 \cdot 0.1875}{0.0009}$$ $$n = \frac{0.57421875}{0.0009} \approx 638.02$$ Como el número de personas debe ser entero y garantizar que el error no supere $0.03$, siempre redondeamos hacia arriba. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 639 \text{ pasajeros}}$$

**c) Si se pierden los datos de 5 de los pasajeros de la muestra, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos viajara con descuento de residencia.** Tenemos un grupo de $300$ pasajeros donde: - Con descuento: $225$ - Sin descuento: $300 - 225 = 75$ Si se pierden $5$ datos al azar, queremos la probabilidad de que los $5$ pertenezcan al grupo de 'Sin descuento'. Esto es un experimento sin reposición: $P(\text{Ninguno con descuento}) = \frac{75}{300} \cdot \frac{74}{299} \cdot \frac{73}{298} \cdot \frac{72}{297} \cdot \frac{71}{296}$ Calculamos el producto: $$P = \frac{75}{300} \cdot \frac{74}{299} \cdot \frac{73}{298} \cdot \frac{72}{297} \cdot \frac{71}{296} \approx 0.25 \cdot 0.2475 \cdot 0.2450 \cdot 0.2424 \cdot 0.2399 \approx 0.000914$$ 💡 **Tip:** También se puede expresar usando combinaciones: $P = \frac{\binom{75}{5}}{\binom{300}{5}}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.000914}$$ (Una probabilidad muy baja, aproximadamente del $0.09\%$).