Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Calcular el intervalo de confianza del 88% para la duración media de los televisores del fabricante.** Primero, extraemos los datos de la muestra proporcionados en el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 50$ - Media muestral: $\bar{x} = 9.5$ años - Desviación típica (poblacional o de la muestra grande): $\sigma = 2$ años - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.88$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al 88%: 1. Si $1 - \alpha = 0.88$, entonces $\alpha = 0.12$. 2. Dividimos el riesgo en dos colas: $\alpha/2 = 0.06$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.06 = 0.94$. Consultando la tabla: - $P(Z \le 1.55) = 0.9394$ - $P(Z \le 1.56) = 0.9406$ Tomamos el valor intermedio (o el más cercano): **$z_{\alpha/2} = 1.555$**. 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica la probabilidad de que el parámetro real esté dentro del intervalo. Para hallar $z_{\alpha/2}$, siempre calculamos $1 - \frac{\alpha}{2}$ y buscamos ese área en el interior de la tabla normal.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.555 \cdot \frac{2}{\sqrt{50}} = 1.555 \cdot \frac{2}{7.071} = 1.555 \cdot 0.2828 = 0.4398$$ Ahora aplicamos este error a la media muestral: - Límite inferior: $9.5 - 0.4398 = 9.0602$ - Límite superior: $9.5 + 0.4398 = 9.9398$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (9.0602, 9.9398)}$$

**b) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar la duración media de los televisores con un error menor de 6 meses y con un nivel de confianza del 95%?** Actualizamos los datos según los nuevos requisitos: - Error máximo: $E \lt 6$ meses. Como los datos originales están en años, convertimos el error: **$E \lt 0.5$ años**. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. - Desviación típica: $\sigma = 2$ años. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 95%: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \alpha/2 = 0.025$. 2. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$. 3. Buscando en la tabla, este valor es exacto para **$z_{\alpha/2} = 1.96$**. 💡 **Tip:** Es fundamental que todas las variables (media, desviación y error) estén en la misma unidad. Aquí hemos pasado los 6 meses a $0.5$ años.

Utilizamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n \gt \left( \frac{1.96 \cdot 2}{0.5} \right)^2$$ $$n \gt \left( \frac{3.92}{0.5} \right)^2 = (7.84)^2$$ $$n \gt 61.4656$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que $0.5$, debemos redondear siempre al siguiente número entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 62 \text{ televisores}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (como .1), siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea inferior al límite pedido.