Estudio de beneficios de una empresa: Continuidad, derivabilidad y optimización

**a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de $B(t)$ a lo largo de los 50 años.** Primero analizamos la continuidad en los intervalos abiertos. La primera rama es una función polinómica (continua en $\mathbb{R}$) y la segunda es una función racional cuyo denominador se anula en $t=0$, pero como este valor no pertenece a su dominio de definición $[40, 50]$, también es continua. El punto crítico es el salto entre ramas en **$t = 40$**. Calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. Límite por la izquierda ($t \to 40^-$): $$\lim_{t \to 40^-} (-0,04t^2 + 2,4t) = -0,04(40)^2 + 2,4(40) = -64 + 96 = 32$$ 2. Límite por la derecha ($t \to 40^+$): $$\lim_{t \to 40^+} \frac{40t - 320}{t} = \frac{40(40) - 320}{40} = \frac{1600 - 320}{40} = \frac{1280}{40} = 32$$ 3. Valor de la función ($t = 40$): $$B(40) = \frac{40(40) - 320}{40} = 32$$ Como $\lim_{t \to 40^-} B(t) = \lim_{t \to 40^+} B(t) = B(40) = 32$, la función es **continua en $t = 40$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(t) \text{ es continua en todo su dominio } [0, 50]}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$B'(t) = \begin{cases} -0,08t + 2,4 & \text{si } 0 \lt t \lt 40 \\ \frac{320}{t^2} & \text{si } 40 \lt t \lt 50 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para la segunda rama, puedes usar la regla del cociente o simplificar la expresión: $\frac{40t-320}{t} = 40 - \frac{320}{t}$, cuya derivada es $0 - (-320 \cdot t^{-2}) = \frac{320}{t^2}$. Calculamos las derivadas laterales en **$t = 40$**: 1. Derivada por la izquierda: $$B'(40^-) = -0,08(40) + 2,4 = -3,2 + 2,4 = -0,8$$ 2. Derivada por la derecha: $$B'(40^+) = \frac{320}{40^2} = \frac{320}{1600} = 0,2$$ Como las derivadas laterales son distintas ($-0,8 \neq 0,2$), la función **no es derivable en $t = 40$** (existe un punto anguloso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(t) \text{ es derivable en } (0, 40) \cup (40, 50)}$$

**b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de $B(t)$. ¿Cuál es el beneficio máximo y cuándo se produjo?** Buscamos los puntos críticos igualando $B'(t) = 0$ en cada rama: - **Rama 1 ($0 \le t \lt 40$):** $$-0,08t + 2,4 = 0 \implies 0,08t = 2,4 \implies t = \frac{2,4}{0,08} = 30$$ - **Rama 2 ($40 \le t \le 50$):** $$\frac{320}{t^2} = 0 \implies \text{No tiene solución. Como } 320/t^2 \gt 0, \text{ siempre es creciente en este intervalo. }$$ Evaluamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por los puntos singulares ($t=30$) y el salto de rama ($t=40$): $$\begin{array}{c|ccccc} t & (0,30) & 30 & (30,40) & 40 & (40,50) \\ \hline B'(t) & + & 0 & - & \nexists & + \\ B(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín. rel.} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 30) \cup (40, 50) \text{ y decreciente en } (30, 40)}$$

Para hallar el máximo absoluto, comparamos los valores de la función en el extremo relativo ($t=30$) y en los extremos del intervalo del dominio ($t=0$ y $t=50$): 1. En $t = 30$ (Máximo relativo): $$B(30) = -0,04(30)^2 + 2,4(30) = -36 + 72 = 36$$ 2. En $t = 0$: $$B(0) = 0$$ 3. En $t = 50$ (Extremo final): $$B(50) = \frac{40(50) - 320}{50} = \frac{2000 - 320}{50} = \frac{1680}{50} = 33,6$$ Comparando los valores ($36 \gt 33,6 \gt 0$), el beneficio máximo absoluto es de **36 mil euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio máximo es de 36.000 € y se produjo a los 30 años.}}$$

**c) Hacer una gráfica de $B(t)$.** Para representar la función, utilizamos los puntos clave obtenidos: - Punto inicial: $(0, 0)$ - Máximo relativo (vértice de la parábola): $(30, 36)$ - Punto de unión (cambio de rama): $(40, 32)$ - Punto final: $(50, 33,6)$ La primera parte es un arco de parábola con concavidad hacia abajo (porque el coeficiente de $t^2$ es negativo). La segunda parte es un arco de hipérbola creciente que tiende de forma asintótica hacia el valor $y=40$ (aunque el dominio termina en $t=50$).